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拓扑排序

由某个集合上的一个偏序，得到该集合的一个全序，这个操作称为拓扑排序。这个说的偏数学了，对于有向无环图G做拓扑排序，是将G的顶点排成一个线性序列，使得图中任意顶点u，v，如果边（u，v）属于E（G），则u在线性序列中的位置处于v的前边。

对于一个流程图，可以用顶点表示活动，弧表示活动间的优先关系，这样所表示的有向图称为顶点表示活动的网，即AOV网。在网中，如果顶点i到顶点j有一条有向路径，或者（i，j）是一条弧，则i是j的前驱，j是i的后继。AOV网中不应该出现环。

拓扑排序的思想很简单，（1）在有向图中选一个没有前驱的顶点输出；（2）从途中删除该顶点和所有以它为尾的弧。重复上述两个步骤，直到全部顶点输出，或者图中不存在无前驱的顶点时，这说明图有环。

有拓扑排序算法可以看出，拓扑序列不唯一。

bool TopologicalSort(ALGraph *G){
    //使用邻接存储
    int indegree[G -> vexnum];
    InitDegree(G, indegree);   //求每个顶点的入度
    stack<int> sta;
    int count = 0;
    for(int i; i < G -> vexnum; i++)
        if(!indegree[i]) sta.push(i);
    while(!sta.empty()){
        sta.pop();
        cout << i;
        count++;
        for(arcnode * p = G -> vex[i].firstarc; p; p = p -> nextarc){
            int k = p -> adjvex;
            if(--indegree[k] == 0)
                sta.push(k);
        }
    }
    if(count == G -> vexnum)
        return true;
    else
        return false;
}

关键路径

与AOV网不同，用边表示活动的网称为AOE网。AOE网是一个带权的有向无环图，用来估算工程完成的时间。由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，所以网中只有一个入度为0的点（源点）和一个出度为0的点（汇点）。AOE网要研究的问题是完成整个工程最少需要多少时间，那些活动是影响工程的关键活动？

AOE网中的某些活动是可以并行的，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度，成为关键路径。用e（i）表示活动ai的最早开始时间，l（i）表示ai的最迟开始时间（在不影响整个工程的时间前提下），l（i）- e（i）表示活动ai的时间余量，l（i）= e（i）的活动称为关键活动，显然关键路径上的活动都是关键活动。算法如下：

1. 输入e条弧，建立AOE网，可以用邻接表。
2. 从源点v0出发，另ve【0] = 0，按拓扑有序求其余各顶点的最早发生时间ve[ i ]，如果拓扑排序中序列顶点数小于网中顶点数，说明存在环。否则执行3
3. 从汇点vn出发，另vl[n - 1] = ve[n - 1]，按逆拓扑有序求各顶点最迟发生时间vl[ i ]。
4. 根据ve和vl判断，e( i ) = ve[ i ]， l(i) = vl(k) - w(j，k)，w表示弧权值，如果e(i) = l(i)，说明（j，K）是关键活动。

构成两条关键路径（v1, v2, v5, v7, v9)和（v1, v2, v5, v8, v9）.