贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔(Eric
Temple Bell)为名,是组合数学中的一组整数数列,开首是(OEIS的A000110数列):
Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法:{
Bn表示[n]上的分拆个数,称为Bell数。}
- {{a}, {b}, {c}}
- {{a}, {b, c}}
- {{b}, {a, c}}
- {{c}, {a, b}}
- {{''a'', ''b'', ''c''}};
B0是1因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合,而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。
贝尔数适合递推公式:
它们也适合“Dobinski公式”:
它们也适合“Touchard同余”:若p是任意质数,那么
每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和
Stirling数S(n, k)是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。
把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式,其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。
贝尔数的指数母函数是
贝尔三角形[编辑]
用以下方法建构一个三角矩阵(形式类似杨辉三角形):
- 第一行第一项是1(a_{1,1} = 1)
- 对于n>1,第n行第一项等同第n-1行最后一项。()
- 对于m,n>1,第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。()
结果如下:(OEIS:A011971)
每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。
这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。