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UVa 10428 The Roots

题意：
给定一个一元n次方程，求出所有解。(由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根)

题解：
牛顿迭代法
通过牛顿迭代法每次都可以求出多项式的一个根，即方程的一个解x'，
然后由 n次一元多项式 =（x-x'）*（n-1次一元多项式）
计算出这个 n-1次一元多项式，即计算其系数
令 bn+1 = 0
bn = bn+1 * x' + an

bn-1 = bn*x' + an-1

........

b2 = b3*x' + a2

b1 = b2*x' + a1

b0 = b1*x' + a0

得这个n-1次一元多项式的系数列表 {bn, bn-1,...,b1}。

然后重复上面的操作，就可以把一元n次方程的n个解都找出来。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;

int N;
double a[10], b[10], fd[10];


//f(x) = gn*x^n + gn-1 * x^n-1 + ... + g0
double Function(double* g, double x, int n) {
    double ret = 0, u = 1;
    for(int i=0; i<=n; ++i) {
        ret += g[i]*u;
        u *= x;
    }
    return ret;
}

double Newton(int n) {
    for(int i=0; i<n; ++i)
        fd[i] = a[i+1] * (i+1);  //求导
    double x = -100;  //根的范围 abs(root)<25
    for(int i=0; i<100; ++i) //迭代
        x = x - Function(a, x, n) / Function(fd, x, n-1);
    return x;
}

void NewPoly(double x, int n) {
    b[n+1] = 0;
    for(int i=n; i>=0; --i)
        b[i] = b[i+1]*x + a[i];

    for(int i=0; i<n; ++i) {
        a[i] = b[i+1];
    }
}

void solve() {
    for(int i=0; i<N; ++i) {
        double x = Newton(N-i);
        printf(" %.4f", x);
        NewPoly(x, N-i);
    }
}
int main() {
    int cas = 1;
    while(~scanf("%d",&N)&&N) {
        for(int i=N; i>=0; --i)
            scanf("%lf", &a[i]);
        printf("Equation %d:",cas++);
        solve();
        printf("\n");
    }
    return 0;
}