n!最右非零数字

注此文大部分来自luoyuchu的blog
+ ##Description:

给出正整数N（可能有前导0），请求出N!最右非零的数位的值

+ ##Range:

n<=10^100

+ HDU1066 弱化问题USACO 3.2.1
以前做USACO暴力水过了 这是多么的愚昧于是我去学习了一下
考虑虑到末位的0 是由于 2 * 5 这样的运算而产生的，那么我们把2与5成对的剔除就不会出现精度问题了？
其实问题还可以继续深入思考。我们考虑在 10^1000 下如何解决问题
我们考虑一个分组问题
我们按10 分组 这样是可以做的
我们任然可以按 奇偶分组，仍然是可以做的
任然还有按20分组的方案来自吉大的模板
这道题其实就是抓住分组利用规律 进而利用一张小表 推出大表 这种思想是极好的

• ##Solution:
  ####若设答案为x，如果用C表示 [n/5] + [n/25] + [n/125] + …, 那么需要求的是下面的同余方程

$n!\equiv x \times 10^c (\mod \, 10^{c+1})$

####*10^(c+1)*可分解为*2^(c+1)*与*5^(c+1)*即为

$n!\equiv x \times 5^{c} \times 2^c (\mod\, 2^{c+1})$
$n!\equiv x \times 2^{c} \times 5^c (\mod\, 5^{c+1})$

####当 n > 1 时所有的偶数都是上面的方程组中第一个方程的解,而且, n > 1 时第一个方程没有奇数解,因此 n > 1 时只需要虑第二个方程的符合 0 < x <9 的偶数解:

$n!\equiv x \times 2^c \times 5^c (\mod\,5^{c+1})$

####用 h(n) 表示 所有与 5 互素且不大于 n 的正整数的连乘积, 则 n! 可以表为

$h(n) \times 5^{[n/5]} \times h([n/5]) \times 5^{[n/25]} \times h([n/25]) \times 5^{[n/125]} \times h([n/125]) \times …$

####代入方程,消去 5 的乘方后得到下面的同余方程

$h(n) \times h([n/5]) \times h([n/25]) \times …\equiv x \times 2^c (\mod 5)$

####由于 3 * 2 ≡ 1 (mod5), 因此方程变为

$3^c \times h(n) \times h([n/5]) \times h([n/25]) \times …\equiv x (\mod5)$

####由 Euler-Fermat 公式知( % 表示求模运算 )

$3^c\equiv 3^{(c \mod 4)}(\mod 5)$

####由 Wilson 定理有

$h(n)\equiv (-1)^{([n/5])} \times ( n \mod 5 )! (\mod 5)$

####把上面两式代入 (c) 就得到了 

$3^{(c \mod 4)} \times (-1)^c \times ( n \mod 5 )! \times ([n/5] \mod 5)! \times ([n/25] \mod 5)!\times…\equiv x (\mod 5)$

####于是就可以通过O(logn)的时间求出答案

• ##my_code:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define dig(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define REP(i, n) for (int i = 1, _end_ = (n); i <= _end_; ++i)
const int mod = 10000;
const int maxs = 105;
const int pp[5] = {1, 6, 2, 8, 4};
using namespace std;
struct Bignum
{
    int w;
    int t[maxs];
    Bignum() {w = 0, memset(t, 0, sizeof(t));}
};
Bignum operator + (const Bignum &a, const Bignum &b)
{
    Bignum s;
    s.w = max(a.w, b.w);
    for (int i = 1; i <= s.w; ++i) s.t[i] = a.t[i] + b.t[i];
    for (int i = 1; i <= s.w; ++i)
    {
        if (i == s.w && s.t[i] >= mod) ++s.w;
        s.t[i + 1] += s.t[i] / mod;
        s.t[i] %= mod;
    }
    return s;
}
void divide(Bignum &s, int b, int &my)
{
    for (int i = s.w; i >= 1; --i)
    {
        s.t[i - 1] += mod * (s.t[i] % b);
        s.t[i] /= b;
        if (i == s.w && s.t[i] == 0) --s.w;
    }
    my = s.t[0] / mod;
    s.t[0] = 0;
}
int Ans = 1;
int n;
Bignum source;
void test(Bignum source)
{
    printf("%d", source.t[source.w]);
    for (int i = source.w - 1; i >= 1; --i) printf("%04d", source.t[i]);
    printf("----%d\n", source.w);
}
void Init()
{
    char t;
    int k;
    int w = 0;
    int num[maxs] = {0};

    memset(source.t, 0, sizeof(source.t));
    Ans = 1;

    while ((t = getchar()) < '1' || t > '9');
    do num[++w] = t - '0'; while((t = getchar()) >= '0' && t <= '9');
    REP(i, w / 2) swap(num[i], num[w - i + 1]);
    for (int i = 1; i <= w; i += 4)
    {
        k = 0;
        for (int j = i + 3; j >= i; --j) k = k * 10 + num[j];
        source.t[i / 4 + 1] = k;
    }
    source.w = (w + 3) / 4;
}
void Work()
{
    int my;
    Bignum c;
    Bignum s = source;
    do
    {
        divide(s, 5, my);
        c = c + s;
        REP(i, my) Ans *= i; Ans %= 5;
    }while (s.w);
    if (c.t[1] & 1) Ans *= -1;
    divide(c, 4, my);
    REP(i, my) Ans *= 3; Ans = (Ans + 1000) % 5;
    if (source.w == 1 && source.t[1] == 1) cout << pp[0] << endl;
    else cout << pp[Ans] << endl;
}
int main()
{
    int T;
    freopen("a.in", "r", stdin);
    freopen("a.out", "w", stdout);
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
        {
        Init();

        Work();
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}