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* title :约瑟夫环的三个解法
* author:andy lee
* e-mail: mhpmii@126.com
**********************************************/
//方法1:采用模拟实际问题,建立一个单向循环链表
//
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
//节点
typedef struct node{
int num;
struct node *next;
}Node;
//创建环
void loop_creat(Node *head,int count)
{
Node *cur=NULL;
Node *per = head;
int i=1;
while(--count > 0 )
{
cur = (Node *)malloc(sizeof(struct node));
i++;
cur->num = i;
per->next = cur;
per = cur;
}
cur->next = head;//将链表头尾相连
}
//循环出链表
void kick_from_ring(Node *phead,int m)
{
int i = 1;
Node *cur,*per;
cur = per = phead;
while(cur != NULL)
{
if(i==m)
{
printf("%d ",cur->num);
per->next = cur->next;
free(cur);
cur = per->next;
i=1;
continue; //数到m 踢出去
}
per = cur;
cur = cur->next;
if(per == cur) //结束循环的条件
{
printf("%d ",cur->num);
free(cur);
puts("\n");
break;
}
i++;
}
}
//用来打印链表的函数
void print_ring(Node *phead)
{
Node *cur;
cur = phead;while(cur != NULL)
{
printf("%d ",cur->num);
if(cur->next == phead)
{
puts("\0");
break;
}
cur = cur->next;
}
}
int main()
{
int n,m;
puts("请输入n,m的值");
scanf("%d,%d",&n,&m);
Node *phead;
phead = (Node *)malloc(sizeof(Node));//先创建头节点
phead->num = 1;
phead->next = NULL;
loop_creat(phead,n);
print_ring(phead);
printf("the order is : ");
kick_from_ring(phead,m);
return 0;
}
//方法2:用一个数组模拟
/*
* 用一个数组a[n]将值记录下来(1-n)
*
* 然后从累计m次计数,每次计数到的值打印出来并标记为-1
*
* 当累计的值的那个数是被标记过的,就不断往下查找,直到第一个不为-1的数,打印并标记
*
* 数组所有值被标志为-1,宣告结束
* ********************************************/
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 10
#define M 4
int main()
{
int
int
int
int
//N,M 的值如果要可变,就用malloc动态分配数组
a[N];
i;
m;
count = 0;
printf("N = %d\n",N);
printf("M = %d\n",M);
for(i=0;i<N;i++)
{
a[i] = i+1;
}
i = 0;
m = 0;
while(count < N)
{
m=m%M;
i=i%N;
if(a[i]!=-1)
{
m++;
if(m == M){
printf("%d ",a[i]);
count++;
a[i] = -1;
}
i++;
}
else
{
i++;
}
}
puts("\n");
return 0;
}
//方法3:网上看到的,做了数学推断,代码简单了,
/*思想:归纳为数学性问题。
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非
常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要
读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k
--> 0
k+1
--> 1
k+2
--> 2
...
...
k-2
--> n-2
k-1
--> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变
回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就
是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;
(i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:*/
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#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s = 0;
printf ("N M = ");
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i = 2; i <= n; i++)
{
s = (s + m) % i;
}
printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。
但是需要手工推导,不推荐这个方法,复杂的计算和推导因该交给计算机去做,而且这个方法只有最后活下来的人的值,没有出列顺序