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今天我要讲的主要内容是什么是Wallis公式，以及它的推导过程。然后讲述Wallis公式的两个重要应用，即推导

Stirling公式和求解Euler-Poisson积分。一次在一个机器学习群里面看到讨论这个公式，借此机会总结一下。

 

Contens

 

    1. 什么是Wallis公式

    2. Wallis公式的推导过程

    3. 利用Wallis公式推导Stirling公式

    4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分

 

 

1. 什么是Wallis公式

 

   Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下

 

  

 

   其中，开方后还可以写成

 

   

 

 

2. Wallis公式的推导过程

 

  
Wallis公式的推导采用对在区间内的积分完成，令

 

  

 

   用部分积分法得到如下推导过程

  

  

 

   进一步得到

 

  

 

   所以继续得到

 

  

 

   所以最终得到

 

  

 

   由的单调性可知

 

  

 

   即得到

 

  

 

   由两边夹挤准则得到

 

   

 

   这样就推导出了Wallis公式。

 

 

3. 利用Wallis公式推导Stirling公式

 

   斯特林公式如下

 

  

 

   接下来利用Wallis公式来推导斯特林公式。

 

   借助函数的图像面积，通常有三种求法，分别是积分法，内接梯形分割法，外切梯形分割法。实

   际上最准确的是第一种，后面两种都有一定误差。

 

   对于积分法求面积有

 

  

 

   对于内接梯形分割法有

 

  

 

   很容易知道，令，很容易证明为有界递增序列，则

 

  

 

   接下来令，则有极限，设

 

   

 

   则根据Wallis公式得到

 

  

 

   进一步化简得到

 

   

 

   所以最终得到

 

  

 

   带入原式得到斯特林公式

 

   

 

 

4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分

 

   在上面，我通过Wallis公式完美地推导了斯特林公式，接下来继续看Wallis公式的另一个应用，即求解

   Euler-Poisson积分。

 

   Euler-Poisson积分是无限区间上的非正常积分

 

  

 

   它在概率论等数学分支以及其它自然科学中都有重要应用，由于它的被积函数的原函数不能用初等函数表示，

   因此不能用牛顿-莱布尼兹公式求它的值。现在我就用上面学到的Wallis公式来求解。

 

   借助函数在时取得最大值1，因此对于任何，都有，从

   而得到和，所以

 

   

 

   对任意自然数都有

 

  

 

   由于

 

  

 

   那么，我们又知道

 

  

 

   即得到不等式为

 

  

 

   同时取平方后得到

 

  

 

   由Wallis公式可以推出，在的情况下，两边都是以为极限，由两边夹挤准则得到