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题目

三角形 ABC 中，A : B : C = 4 : 2 : 1，a，b，c 都是整数，并且最大公约数是 1。求证：a+b，a-c，b-c 都是平方数。

题图

解答

在图中，作 BAC 的平分线 AG ，那么明显有，AG = BG。又，BAG = B，所以，AGC = BAC。那么这暗示了 $\triangle ABC \sim \triangle GAC$。

我们根据边的相似比得到，x/c = (a-x)/b = b/a。这个式子消去 x，发现是：aa = bb+bc —(1)。

再作 B 的平分线可以得到对称的结论： bb = cc+ac —(2)。

(1) + (2)，可以得到 a(a+c) = c(b+c) —(3)；(3)/(1)，可以得到 ab = (a+b)c —(4) 。

这里得到一个重要结论：c|ab 。由于三边的最大公约数是 1，那么我们可以设 c = xy，并且 x|a，y|b。又设：a = sx，b = ty。

往证： s = t。

(4) 说明 st = sx + ty —(5)；

s|st，那么，s | (sx + ty)，进而，s | ty。由于 gcd(a, y) = 1， 得到 gcd(s, y) = 1，那么 s | t ；
再利用 t|st 可以得到完全对称的结论：t|s 。

所以： s = t ，证已明。

此后：a = tx ；b = ty；c = xy。(5) 说明 sx + y = t。那么：

1. a + b = t(x + y) = tt
2. a - c = (t - y)x = xx
3. b - c = (t - x)y = yy