学步园

　　这是道好题。至少我错了不下10次。dp的两个重点：转移方程+初始化。偶敢保证，偶的转移方程绝对没问题。可是初始化上wa到shi了。昨天想了整整一晚上，跟经典01背包那么像，加上一个容器就写不出来了。然后问鱼神，鱼神说这题的数据人畜无害，哄小盆友的。我了个去！然后问他思路，说设f[i][j][k]，表示前i个中挑j个占容量是k时的最大value，然后就没有然后了。。。

　　我自己就在那列各种状态，各种推导。思路还是很模糊，后来又好几次问鱼神。甚至有几次让我问的直接不鸟我了。T_T悲摧的人生啊。。。

　　后来推出：

　　f[i][j][k] = max(f[i-1][j][k], f[i-1][j-1][k - c[i]] + w[i]);

　　转移方程出来我以为这题差不多就过了，可恨的是这是一个满背包。01背包时，满背包处理是f[1..n][0] = 0, 其余都等于-∞，可是这按照这个思路把f[1..N][0][1..L]初始化成0，其余是-∞却不对。wa了有十几次。最后根据背包九讲里简化01背包空间复杂度的方法把三维数组化成二维的。f[j][k]表示挑满j个物品占容量为k时的最大value。

　　f[j][k]  = max(f[j][k], f[j-1][k-c[i]] + w[i]) （类比经典01背包简化， f[i] = max(f[i], f[i-c[i]] + w[i])）.

　　然后通过经典01背包简化过后的写法：

for i=1..N
    for v=V..0
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

 　　因为f[i][v]是从f[i-1][v-c[i]] + w[i] 推出的。如果v = 0...V的话就成了。f[i][v] = f[i][v-c[i]]。

这题的转移过程就是：

 

for(i = 1; i <= n; i++) {
    for(j = m; j - 1 >= 0; j--) {
        for(k = l; k > 0 && k - c[i] >= 0; k--) {
            f[j][k] = max(f[j][k], f[j-1][k-c[i]] + w[i]);
        }
    }
}

　　初始化跟上面三维数组写法一样。f[0][1...L] = 0, 其他都是-∞。还得加上一个限制，当前一个不能背满时，不转移。

for(k = l; k > 0 && k - c[i] >= 0; k--) {
    if(f[j-1][k-c[i]] != inf)
        f[j][k] = max(f[j][k], f[j-1][k-c[i]] + w[i]);
}

My Code:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 107;
const int M = 1024;
const int inf = -(~0u>>2);

int f[N][M];
int c[N], w[N];

int main() {
    //freopen("data.in", "r", stdin);

    int i, j, k;
    int n, m, l, t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &l);
        for(i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d%d", &c[i], &w[i]);
        }
        for(j = m; j >= 0; j--) {
            for(k = l; k >= 0; k--)
                f[j][k] = inf;
        }
        for(i = 0; i <= l; i++) {
            f[0][i] = 0;
        }
        for(i = 1; i <= n; i++) {
            for(j = m; j - 1 >= 0; j--) {
                for(k = l; k > 0 && k - c[i] >= 0; k--) {
                    if(f[j-1][k-c[i]] != inf)
                        f[j][k] = max(f[j][k], f[j-1][k-c[i]] + w[i]);
                }
            }
        }
        //cout << inf << endl;
        if(f[m][l] == inf)    {cout << '0' << endl; continue;}
        cout << f[m][l] << endl;
    }
    return 0;
}

ps：有人直接秒过了，Orz！不过我觉得好题应该好做。^_^。