一、概念
快速排序是基于分治模式的，选择一个数作为主元，经过一遍扫描，所有小于主元的数放在主元的左边，大于主元的数放在主元的右边，这样就划分成了两组数据。然后对两组数分别进行快排。
快排的运行时间与划分是否对称有关，关键是如何选择主元。
最坏情况下，时间复杂度是O(n^2)，最好情况下，时间是O(nlgn)
二、程序
#include <iostream>
using namespace std;
//输出过程
void Print(int *A, int len)
{
for(int i = 0; i < len; i++)
{
if(i)cout<<' ';
else cout<<"==> A = {";
cout<<A[i];
}
cout<<'}'<<endl;
}
/************************7.1普通快排************************************************/
//划分
int Partition(int *A, int p, int r)
{
//选择A[r]作为主元
int x = A[r];
int i = p - 1, j;
for(j = p; j < r; j++)
{
//小于主元的放在左边
if(A[j] <= x)
{
i++;
//把大于主元的交换到右边
swap(A[i],A[j]);
}
}
swap(A[i+1], A[r]);
//返回最终主元的位置
return i+1;
}
void QuickSort(int *A, int p, int r)
{
if(p < r)
{
//以某个主元为标准，把数组分为两部分，左边都比主元小，右边都比主元大
int q = Partition(A, p, r);
//分别对左边和右边排序
QuickSort(A, p, q-1);
QuickSort(A, q+1, r);
}
}
/********************7.3随机快排******************************************************/
//划分
int Randomized_Partition(int *A, int p , int r)
{
//随机选择一个数作为主元
int i = rand() % (r-p+1) + p;
swap(A[r], A[i]);
return Partition(A, p, r);
}
//排序，原理与普通快排相同，只是调用的划分方法不同
void Randomized_QuickSort(int *A, int p, int r)
{
if(p < r)
{
int q = Randomized_Partition(A, p, r);
Randomized_QuickSort(A, p, q-1);
Randomized_QuickSort(A, q+1, r);
}
}
三、练习
7.1 快速排序的描述
7.1-1
A = {13 19 9 5 12 8 7 4 21 2 6 11}
==> A = {9 5 8 7 4 2 6 11 21 13 19 12}
==> A = {5 4 2 6 9 8 7 11 21 13 19 12}
==> A = {2 4 5 6 9 8 7 11 21 13 19 12}
==> A = {2 4 5 6 9 8 7 11 21 13 19 12}
==> A = {2 4 5 6 7 8 9 11 21 13 19 12}
==> A = {2 4 5 6 7 8 9 11 21 13 19 12}
==> A = {2 4 5 6 7 8 9 11 12 13 19 21}
==> A = {2 4 5 6 7 8 9 11 12 13 19 21}
==> A = {2 4 5 6 7 8 9 11 12 13 19 21}
7.1-2
返回r
7.1-2
修改PARTITION(A, p, r)，增加对A[i]==x时的处理。对于A[i]==x的数据，一半放在x左边，一半放在x右边
//划分
int Partition(int *A, int p, int r)
{
//选择A[r]作为主元
int x = A[r];
int i = p - 1, j;
bool flag = 0;
for(j = p; j < r; j++)
{
//小于主元的放在左边
if(A[j] < x || (A[j] == x && flag))
{
i++;
//把大于主元的交换到右边
swap(A[i],A[j]);
if(A[j] == x)flag = !flag;
}
}
swap(A[i+1], A[r]);
//返回最终主元的位置
return i+1;
}
7.1-3
PARTITION()的具体过程如下：
(1)x<-A[r]，O(1)
(2)遍历数组，O(n)
(3)exchange，O(1)
因此运行时间为O(n)
7.1-4
修改PARTITION(A, p, r)，把L4改为do if A[j] >= x
7.2 快速排序的性能
7.2-1
见《算法导论》7.4.1。
我的方法：
T(n) = T(n-1) + O(n)
T(n-1) = T(n-2) + O(n-1)
…… = …… + ……
T(2) = T(1) + O(2)
------------------------
T(n) = T(1) + O(n) + O(n-1) + …… + O(2)
= O(n^2)
7.2-2
O(n^2)
7.2-3
当数组A包含不同元素且按降序排序时，每次划分会划分成n-1个元素和1个元素这两个区域，即最坏情况。因此时间为O(n^2)
7.2-4
基本有序的数列用快排效率较低
7.2-5
若第一层的元素个数是n，那么会划分成n(1-a)个元素和na个元素这两个区域。0<a<=1/2 ==> na<=n(1-a)，因此只考虑n(1-a)。第t层元素个数为na^(t-1)。当na^(t-1)=1时划分结束。解得t=-lgn/lg(1-a)+1，大约是-lgn/lg(1-a)。
7.2-6
可参考http://blog.163.com/kevinlee_2010/blog/static/16982082020112585946451/，
不过我没看懂
7.3 快速排序的随机化版本
7.3-1 随机化不是为了提高最坏情况的性能，而是使最坏情况尽量少出现 7.3-2 最坏情况下，n个元素每次都划分成n-1和1个，1个不用再划分，所以O(n)次 最好情况下，每次从中间划分，递推式N(n)=1+2*N(n/2)=O(n)
7.4 快速排序的分析
7.4-1
没有找到关于这几个符号的定义
7.4-2
见《算法导论》P88最佳情况划分
7.4-3
令f(q) = q^2 + (n-q-1)^2
= 2q^2 + 2(1-n)q + (n-1)^2
这是一个关于q的抛物线，且开口向上。因此q的取值离对称轴越远，f(q)的值就越大。
对称轴为q = -b/2a = (n-1)/2
当q=0或q=n-1时取得最大值
7.4-4
见《算法导论》P7.4.2
7.4-5
//7.4-5利用插入排序改善快排
int k = 4;
//划分
int Partition(int *A, int p, int r)
{
//选择A[r]作为主元
int x = A[r];
int i = p - 1, j;
bool flag = 0;
for(j = p; j < r; j++)
{
//小于主元的放在左边
if(A[j] < x || (A[j] == x && flag))
{
i++;
//把大于主元的交换到右边
swap(A[i],A[j]);
if(A[j] == x)flag = !flag;
}
}
swap(A[i+1], A[r]);
//返回最终主元的位置
return i+1;
}
//快速排序
void QuickSort(int *A, int p, int r)
{
//长度小于k的子数组不排序
if(r - p >= k)
{
//以某个主元为标准，把数组分为两部分，左边都比主元小，右边都比主元大
int q = Partition(A, p, r);
//分别对左边和右边排序
QuickSort(A, p, q-1);
QuickSort(A, q+1, r);
}
}
//插入排序
void InsertSort(int *A, int p, int r)
{
int i, j;
for(i = p + 1; i <= r; i++)
{
int temp = A[i];
j = i;
while(A[j-1] > temp)
{
A[j] = A[j-1];
j--;
}
A[j] = temp;
}
}
void Sort(int *A, int p, int r)
{
//先进行粗粒度的快排
QuickSort(A, p, r);
//逐个进行插入排序
InsertSort(A, p, r);
}
四、思考题
7-1 Hoare划分的正确性
7-1 Hoare划分的正确性
a）
A = {13 19 9 5 12 8 7 4 11 2 6 21}
==> A = {6 19 9 5 12 8 7 4 11 2 13 21}
==> A = {6 2 9 5 12 8 7 4 11 19 13 21}
==> A = {4 2 9 5 12 8 7 6 11 19 13 21}
==> A = {4 2 5 9 12 8 7 6 11 19 13 21}
==> A = {2 4 5 9 12 8 7 6 11 19 13 21}
==> A = {2 4 5 6 12 8 7 9 11 19 13 21}
==> A = {2 4 5 6 7 8 12 9 11 19 13 21}
==> A = {2 4 5 6 7 8 9 12 11 19 13 21}
==> A = {2 4 5 6 7 8 9 12 11 13 19 21}
b)自己写的，很乱，凑合看吧
主要证明以下几点：
（1）do repeat j<-j-1 until A[j]<=x
这个repeat中，第一次执行L6时p<=j<=r，最后一次执行L6时p<=j<=r
证明：
1.第一次执行L6时p<=j<=r。为了区分，j'=j-1，L6中的j用j'表示。
第一次进入while循环时，j=r+1，j'=r，满足p<=j<=r。
若不是第一次进入while循环，j<=r且j>p。因为如果j=p，在上一次while循环中L9的if不能通过，已经return了。因此p<=j<r-1，满足p<=j<=r。
2.最后一次执行L6时p<=j<=r，即要证明在A[p..r]中存在j'满足j'<=j且A[j]<=x
若第一次进入while循环，j'=p满足条件
若不是第一次进入while循环，在上一次while循环中交换过去的那个元素满足条件
（2）do repeat i<i+1 until A[i]>=x
这个repeat中，第一次执行L8时p<=i<=r，最后一次执行L8时p<=i<=r
证明：证明方法与（1）类似
c)根据b可知返回值p<=j<=r，这里只需证明j!=r
若A[r]>x,L5和L6的循环不会在j=r时停止，因此返回值j!=r
若A[r]<=x，只有在第一次进入while循环时，L5和L6的循环在j=r时停止。因为是第一次进入while循环，A[i]=A[p]=x，L7和L8的循环会在i=p时停止。显然会第二次进入while循环，此时j<r，因此返回值j!=r
d)题目写错了，应该是A[p..j]中的每个元素都小于或等于A[j+1..r]中的每个元素
结束时，A[p..i-1]中的元素都小于x，A[j+1..r]中的元素都大于x，命题得证
e)
int Hoare_Partition(int *A, int p, int r)
{
int x = A[p], i = p - 1, j = r + 1;
while(true)
{
do{j--;}
while(A[j] > x);
do{i++;}
while(A[i] < x);
if(i < j)
swap(A[i], A[j]);
else return j;
Print(A, 12);
}
}
void Hoare_QuickSort(int *A, int p, int r)
{
if(p < r)
{
int q = Hoare_Partition(A, p, r);
Hoare_QuickSort(A, p, q-1);
Hoare_QuickSort(A, q+1, r);
}
}
7-2 对快速排序算法的另一种分析
a) 1 + 2 + …… + n n + 1
E[Xi] = -------------------- = -------
n 2
b)后面几题表示完全看不懂
7-3 Stooge排序
void Stooge_Sort(int *A, int i, int j)
{
if(A[i] > A[j])
swap(A[i], A[j]);
if(i + 1 >= j)
return;
k = (j - i + 1) / 3;
Stooge_Sort(A, i, j-k);
Stooge_Sort(A, i+k, j);
Stooge_Sort(A, i, j-k);
}
以下内容转http://blog.csdn.net/zhanglei8893
a）对于数组A[i...j]，STOOGE-SORT算法将这个数组划分成均等的3份，分别用A, B, C表示。
第6-8步类似于冒泡排序的思想。它进行了两趟：
第一趟的第6-7步将最大的1/3部分交换到C
第二趟的第8步将除C外的最大的1/3部分交换到B
剩余的1/3位于A，这样的话整个数组A[i...j]就有序了。
b）比较容易写出STOOGE-SORT最坏情况下的运行时间的递归式
T(n) = 2T(2n/3)+Θ(1)
由主定律可以求得T(n)=n^2.71
c）各种排序算法在最坏情况下的运行时间分别为：
插入排序、快速排序：Θ(n^2)
堆排序、合并排序：Θ(nlgn)
相比于经典的排序算法，STOOGE-SORT算法具有非常差的性能，这几位终生教授只能说是浪得虚名了^_^
7-4 快速排序中的堆栈深度
a)
void QuickSort2(int *A, int p, int r)
{
while(p < r)
{
int q = Partition(A, int p, r);
QuickSort2(A, p, q-1);
p = q + 1;
}
}
b)
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c)
void QuickSort3(int *A, int p, int r)
{
while(p < r)
{
int q = Partition(A, int p, r);
if(r-q > q-p)
{
QuickSort3(A, p, q-1);
p = q + 1;
}
else
{
QuickSort3(A, q+1, r);
r = q - 1;
}
}
}
7-5 “三数取中”划分
a)n个数任意取三个不同的数的取法共有C(3,n)种
若要x=A'[i]，必须在A'[1..i-1]中取一个数，在A'[i+1..n]中取一个数取法共(i-1)*(n-i)
(i-1) * (n-i) 6 * (i-1) * (n-i)
pi = --------------- = -------------------
C(3,n) n * (n-1) * (n-2)
b)在一般实现中，pi=1/n。
n->正无穷时，极限为0。
在这种实现中，当i=(n+1)/2时，
3(n-1)
pi = ---------，当n->正无穷时，极限为0
2n(n-2)
c)遇到这种数学题就没办法了，哎，以前数学没学好
d)不会求
附自己写的程序
//三数取中
int GetMid(int *A, int p, int r)
{
int a = -1, b = -1, c = -1;
while(a < p)a = rand() % (r+1);
while(b < p)b = rand() % (r+1);
while(c < p)c = rand() % (r+1);
if((A[a]-A[b])*(A[a]-A[c])<=0)return a;
if((A[b]-A[a])*(A[b]-A[c])<=0)return b;
if((A[c]-A[a])*(A[c]-A[b])<=0)return c;
}
//划分
int Partition(int *A, int p, int r)
{
//选择A[r]作为主元
int m = GetMid(A, p , r);
swap(A[m], A[r]);
int x = A[r];
int i = p - 1, j;
bool flag = 0;
for(j = p; j < r; j++)
{
//小于主元的放在左边
if(A[j] < x || (A[j] == x && flag))
{
i++;
//把大于主元的交换到右边
swap(A[i],A[j]);
if(A[j] == x)flag = !flag;
}
}
swap(A[i+1], A[r]);
//返回最终主元的位置
return i+1;
}
//快速排序
void QuickSort(int *A, int p, int r)
{
//长度小于k的子数组不排序
if(r > p)
{
//以某个主元为标准，把数组分为两部分，左边都比主元小，右边都比主元大
int q = Partition(A, p, r);
//分别对左边和右边排序
QuickSort(A, p, q-1);
QuickSort(A, q+1, r);
}
}