这题目是经典的DP题目，也可叫作LIS（Longest Increasing
Subsequence）最长上升子序列 或者 最长不下降子序列。很基础的题目，有两种算法，复杂度分别为O(n*logn)和O(n^2) 。
A.
O(n^2)算法分析如下：
（a[1]...a[n] 存的都是输入的数）
1、对于a[n]来说，由于它是最后一个数，所以当从a[n]开始查找时，只存在长度为1的不下降子序列；
2、若从a[n-1]开始查找，则存在下面的两种可能性：
（1）若a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的不下降子序列 a[n-1],a[n];
（2）若a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的不下降子序列 a[n-1]或者a[n]。
3、一般若从a[t]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的：
在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一个比a[t]大的且最长的不下降子序列，作为它的后继。
4、为算法上的需要，定义一个数组：
int d[n][3];
d[t][0]表示a[t];
d[t][1]表示从i位置到达n的最长不下降子序列的长度;
d[t][2]表示从i位置开始最长不下降子序列的下一个位置。
实现代码如下：
显然，这种方法的时间复杂度仍为o(n^2);
B.
最长不下降子序列的O(nlogn)算法分析如下:
设
A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F [t] = 0(t = 1, 2,
..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1,
且A[j] < A[t])。
现在，我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足
(1)x < y < t
(2)A[x] < A[y] < A[t]
(3)F[x] = F[y]
此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？
很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ...
A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] =
k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。
注意到D[]的两个特点：
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不下降的。
(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利
用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A
[t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A
[t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有A [t] <=
D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上 升子序列的长度。
在
上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的
时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法
的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！
对于这段程序，我们可以用算法导论上的loop
invariants来帮助理解.
loop invariant
:
1、每次循环结束后c都是单调递增的。(这一性质决定了可以用二分查找）
2、每次循环后，c[i]总是保存长度为i的递增子序列的最末的元素，若长度为i的递增子序
列有多个，刚保存末尾元素最小的那个.（这一性质决定是第3条性质成立的前提）
3、每次循环完后，b[i]总是保存以a[i]结尾的最长递增子序列。
initialization:
1、进入循环之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均为1000,c是单调递增的;
2、进入循环之前，c[1]=a[0],保存了长度为1时的递增序列的最末的元素，且此时长度为1
的递增了序列只有一个，c[1]也是最小的;
3、进入循环之前，b[0]=1，此时以a[0]结尾的最长递增子序列的长度为1.
maintenance:
1、若在第n次循环之前c是单调递增的，则第n次循环时，c的值只在第6行发生变化，而由
c进入循环前单调递增及find函数的性质可知（见find的注释),
此时c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新为a[i]后，c[j+1]>c[j]>
c[j-1]的性质仍然成
立，即c仍然是单调递增的；
2、循环中，c的值只在第6行发生变化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新为a[i]后，c[j]的值只会变
小不会变大，因为进入循环前c[j]的值是最小的，则循环中把c[j]更新为更小的a[i]，当
然此时c[j]的值仍是最小的;
3、循环中，b[i]的值在第7行发生了变化，因为有loop
invariant的性质2，find函数返回值
为j有：c[j-1]<a[i]<=c[j],这说明c[j-1]是小于a[i]的，且以c[j-1]结尾的递增子序列有最大的
长度，即为j-1,把a[i]接在c[j-1]后可得到以a[i]结尾的最长递增子序列，长度为(j-1)+1=j;
termination:
循环完后，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]结尾的最长递
增子序列的长度均已求出，再通过第8行的循环，即求出了整个数组的最长递增子序列。
仔细分析上面的代码可以发现，每次循环结束后，假设已经求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，则此时最长递增子序列的长度为
len,因此可以把上面的代码更加简化，即可以不需要数组b来辅助存储，第8行的循环也可以省略。