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by---cxlove
总结一下最近学习的Splay tree。万事开头难啊，像这种神一样的数据结构，刚学是很痛苦的，建议之前要把平衡树，SBT之类的数据结构先学学。
资料都是网上乱翻的，前一两道题，代码主要追随别人，后面慢慢的调整，成为自己的东西。
Splay tree意为伸展树，和别的不同的正是在于它的伸展操作。
在这里，我也证明，解释不了伸展树在时间复杂度，操作上的优势之类的。网上很正规的资料里都会有介绍
伸展树并不是严格意义上的平衡树，也还是极有可能退化成线性结构，但他的伸展操作能使它的每一次操作近似（logn），而且独特的伸展操作能解决一些其它数据结构实现不了的（如线段树，SBT等）。
先说伸展操作，在我的理解中，伸展操作和平衡树的保持平衡是类似的，只不过他不要求保持平衡，只是相应的旋转。
如果旋转的节点的父节点便是目标结点，那么一次旋转即可。但是在平衡树中这一步还要拆开。
举例：现在要将根结点的左孩子右旋操作，而此时如果根的左孩子存在右孩子的话，那么直接旋转过去，新的根便有两个左孩子，显然不可以，所以将左子树先执行左旋，再右旋即可。
如果在伸展树中，父节点并不是目标结点，那就存在爷爷结点，如果爷爷结点和父节点方向一样，那么连续两次上面的右旋或者左旋即可。如果方向不一样，便是一左一右两次旋转。画图比较好理解，大家可以从别的资料中找到图，在伸展树中称为一字型和之字型。虽然说的很复杂，但是在Splay中，代码已经被前辈们优化到很短，很精练。
void Rotate(int x,int kind){ //kind分别代表左右旋
int y=pre[x];
Push_Down(y);
Push_Down(x);
ch[y][!kind]=ch[x][kind];
pre[ch[x][kind]]=y;
if(pre[y])
ch[pre[y]][ch[pre[y]][1]==y]=x;
pre[x]=pre[y];
ch[x][kind]=y;
pre[y]=x;
Push_Up(y);
}
//将节点r旋转至goal
void Splay(int r,int goal){
Push_Down(r);
while(pre[r]!=goal){
if(pre[pre[r]]==goal)
Rotate(r,ch[pre[r]][0]==r);
else{
int y=pre[r];
int kind=(ch[pre[y]][0]==y);
if(ch[y][kind]==r){
Rotate(r,!kind);
Rotate(r,kind);
}
else{
Rotate(y,kind);
Rotate(r,kind);
}
}
}
Push_Up(r);
if(goal==0) root=r;
}
这样的伸展操作对于我们的区间操作有什么优势呢。
可以想一个问题，对于一个区间[l,r]，对于平衡树，SBT，如果很快定位到这个区间是很困难的，面对于线段树是可以做到的，那么如果要把区间进行删除，旋转，线段树便做不到了。
接下来看看Splay tree是怎么做的，首先伸展树本质还是个二叉查找树。做法也很简单，将第l-1个结点旋转至根（之前的Splay操作），将第r+1个结点旋转至根的右孩子，那么根据二叉查找树我们知道，在这两个结点之间，也是根的右孩子的左子树就包括节点[l,r]，我们便很快定位，如果需要删除，直接便可以把子树拿走。其中Get_Kth表示找到第K个结点，记录子树的大小，便可以很快实现。
int Get_interval(int l,int r){
Splay(Get_Kth(l-1),0);
Splay(Get_Kth(r+1),root);
Push_Up(ch[root][1]);
Push_Up(root);
}
这个函数便可以很快找到区间[l,r]执行之后的根的右孩子的左子树便是所要区间，便可以进行操作。
伸展树也可以完成线段树的一些工作，也可以设置延迟标记，向上更新，向下更新等等。具体的在后面的练习中会遇到。
接下来是一些练习。
入门题：可以找一些线段树，或者别的数据结构练练手，操作少，简单。线段树这里有
之后我自己做的一些训练，大多是从这里参考来的
第一个Splay,多种数据结构可解。其中主要操作是找到前驱和后继，作为一棵二叉查找树，这并不困难。一个节点的后继，便是右子树中的最左的结点，前驱便是左子树中最右边的节点。
POJ 3468 A Simple Problem with Integers
比较经典的线段树题目。将区间先插入到树中，开始便保证有序，之后的操作不改变顺序，注意懒惰标记
HDU 1890 Robotic Sort
之前便排好序，依次保存好下标。依次考虑第K大的，将其旋转至根，左子树的数量便是需要反转的，之后把根删除即可。
HDU 3436 Queue-jumpers
重点在于需要离散化，将TOP和QUERY操作的节点拿出来，中间不同的区间缩成点。
出现了一个新的操作，CUT。就是旋转，然后删除，然后插入，犀利
[AHOI2006]文本编辑器editor
保存光标位置，也就是第K大的位置，之后都是Splay经典操作
NOI里非常BT的数据结构题，不过不做过此题，Splay的学习怎么能算完整呢。
其它的都类似，有个最大子列和，不过也类似于线段树里的经典操作
POJ 3580 SuperMemo