学步园

这部分主要讲无限、有限积分以及无限和的求解，作者引入类似阶乘的符号，巧妙的运用与有限积分，利用它极大的简化了一些复杂的求和。对于无限和，则采用了和高等数学中不同的方式来描述。

2.6 Finite and infinite calculus

1、有限、无限积分及符号的引进

无限积分是基于求导符号D：

有限积分是基于差分符号： 
    (2.42)

我们引入两个新的符号：

• x to the m falling： 
      (2.43) 
     (2.43)
• x to the m rising: 
      (2.44)

那么易知其满足一下性质：

•       (2.45)
•  
      (2.46)

其中C是任意的函数p(x)满足p(x+1) = p(x)。

•  
      (2.47)

那么上式中的到底是什么意思呢·？我们可以通过一些特殊的上下限获得：

1. 令b = a则：
2. 令b = a + 1则：
3. 令b增加1则：

通过上面分析观察以及数学归纳法，我们可以得到：

•  
     (2.48)

分析b<a的情况我们可以得出对任意整数a，b，c：

•  
      (2.49)

由2.45、2.48、2.48我们可以很容易的得到对于m，n大于等于0：

•  
      (2.50)

2、根据2.50 应用求和

1. 由可以得到：
2. 由可以得到： 
3. 由可以得到：

3、扩展负数的情况

定义negative falling powers(m>0)： 
    (2.51)

我们也可以得到类似指数的性质： 
    (2.52)

那么对于2.50，m为负数的时候也是成立的，那么当m = -1时应该是什么呢？，那么不难得到，综上所述，我们可以得到：

•  
      (2.53)

4、分步求和的情况

从分步积分得到启发，来探讨分布求和：

 
    (2.54)

我们令Ef(x) = f(x＋1)，那么可以得到积差分公式：

      (2.55)

部分和公式(两边都累加的无限和)：

 
    (2.56)

我们将它应用于求和：

最后求一个有关调和级数的例子，
我们令，那么。那么：

最终我们可以得到：

 
    (2.57)

2.7 Infinite sums