1 平面上的N条直线最多能把平面划分为几部分？
答：1条能分成2部分；2条，4部分；3条，7部分；4条，11部分，n条，1+1+2+3+...+n部分，共有1+n*(n+1)/2 部分
2 一个圆将空间分成2部分，两个圆最多将空间分成4部分，问N个圆最多将空间分成几部分？
答：先看多加一个圆后增加了多少个交点，在K个圆上再加一个圆至多能增加2K个交点，又增加n个交点就多了n块区域，故在K个圆上再加一个圆至多能增加2K块区域。所以一个圆最多分2部分，两个圆最多分2+2=4部分，三个圆最多分4+4=8部分，四个圆最多分8+6=14部分，五个圆最多分14+8=22部分，六个圆最多分22+10=32部分。
推广到n个圆，n个圆最多将平面分成2+2(1+2+3+…+n-1)=2+n(n-1)=n^2-n+2部分。
3 N个球面最多将空间分成几部分？
答：这个问题的推导方法仍然是递推，先看多加一个球面后能增加多少个部分，在已有N-1个球面基础上再加一个球面，这个球面至多能被这N-1个球面划分成(N-1)^2-(N-1)+2（参见n个圆最多将平面分成几部分？中的结论）块区域，其中每块区域都将其所在的原来那部分空间一分为二，故在已有N-1个球面基础上再加一个球面，这个球面至多增加(N-1)^2-(N-1)+2块空间区域。所以一个球面最多分2部分，两个球面最多分2+2=4部分，三个球面最多分4+4=8部分，四个球面最多分8+8=16部分，五个球面最多分16+14=30部分，六个球面最多分30+22=52部分。推广到N个球面，N个球面最多将空间分成2+(1^2-1+2)+(2^2-2+2)+…+((N-1)^2-(N-1)+2)=N(N^2-3N+8)/3部分。
4 在3:15:00时，时针和分针的夹角是？
答：3时15分=13/4时，3时15分时，分针与0点位置的夹角是(15/60)*360=90度，时针与0点位置的夹角是[(13/4)/12]*360=97.5度，所以在3时15分时，时针和分钟的夹角=97.5-90=7.5度
5 有两根不均匀分布的香，香烧完的时间是一个小时，你能用什么方法来确定一段15分钟的时间？
答：2根香同时点燃，第一根两头都点燃，第二根只点一头， 第一根点完的时候是半个小时，接着把第二根两头都点燃，第二根点完的时候就是15分钟。
6 有A、B、C、D四个人，要在夜里过一座桥。他们通过这座桥分别需要耗时1、2、5、10分钟，只有一支手电，并且同时最多只能两个人一起过桥。请问，四个人都通过桥，最短多长时间？
答：A和B一起过桥，用去2分钟；A将手电筒送回，用去1分钟；C和D一起过桥，用去10分钟；B将手电筒送回，用去2分钟；A和B再一起过桥，用去2分钟；因此最短共用17分钟。
7 一只猴子旁边有100跟香蕉，猴子距离家50米，猴子一次顶多搬50跟香蕉，但猴子每走一米就要吃掉一根香蕉，问猴子最多能拿多少根香蕉回家？
答：猴子搬香蕉的过程其实分为两个阶段，第一阶段：来回搬，当香蕉数目大于50根时，猴子每搬一米需要吃掉三根香蕉。第二阶段：香蕉数<=50，直接搬回去。每走一米吃掉1根。
先拿50根，走一米放下，拿一根往回走，再取剩下的50根，与原来的放在一起，一共吃3根。再拿50根走一米，放下，拿一根往回走，再取剩下的47根，与原来的放在一起，又吃3根，以此类推，每走一米吃3根，17米后吃51根，还剩49根，直接拿49根往家走，不用回来，剩下的33米吃33根，最后拿到家的只有16根。
8 12个球和一个天枰，现知道只有一个球比其他的略重，问最少用几次天枰才能找到那个球？13个呢？
答：最简单的方法是二分查找的策略，但次数不是最少的，二分查找的策略每次减少了一半的球，但是如果每次把球按三等份（或接近三等份）来分，每次就可以排除近三分之二的球。
如12个球，分成4、4、4，第一次：两端各放4个，重的球就在重的一端，如果持平，那就在第三堆里。第二次：将第一次得到含有重球的那一堆分成1、1、2，两端各放1个，重的球在重的一端，如果持平，那就在第三堆2个球里。第三次：2个球再称一次就找到了。
这道题满足下列等式：球个数为n，最少的次数为x，则n<=3^x