在长为L(<=1000000)的草地（可看成线段）上装喷水头，喷射是以这个喷水头为中心，喷水头的喷洒半径是可调节的，
调节范围为[a,b]。要求草地的每个点被且只被一个喷水头覆盖，并且有些连续区间必须被某一个喷水头覆盖，
而不能由多个喷头分段完全覆盖，求喷水头的最小数目。
很容易想到，这可以用dp解决，定义dp[i]为覆盖[0,i]区间所需的的最小喷头数，
则dp[0]=0,dp[i]=min{dp[i-2*b]....dp[i-2*a]}；因为喷头是向两边喷洒的，所以一个喷头覆盖的区间长度一定是偶数，
又由于题目要求喷头不能喷洒到[0,L]以外的区域，所以0开始的长度为奇数的子区间[0,L’]是不能被完全覆盖的。
还有一个问题是，某些连续区间必须被某一个喷水头覆盖这个限制该如何解决。我们可以这样想，
如果[s,e]这个区间只能被一个喷头覆盖，则[0,M](s<M<e)这一段子区间将不允许被完全覆盖，
因为如果[0,M]被完全覆盖会导致[s,e]区间被分割，所以我们可以对所以的[s,e]做上标记，
一种比较方便编码的方法是直接在dp这个数组上用一个特殊的值标记。我的做法是这样的：
dp[0]=0;
for(int i=1; i<=l; i++) dp[i]=inf;
for(int i=0; i<n; i++) {
int s, e;
scanf("%d%d", &s, &e);
for(int j=s+1; j<e; j++) dp[j] = inf+1;//用inf+1表示不允许覆盖
}
完整代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define L 1001000
int a,b,n,l,inf,dp[L];
int dpro(void)
{
if(b<1) return -1;
dp[0]=0;
for(int i=2; i<=l; i+=2)
{
if (dp[i]<=inf) {
int min = inf;
for(int j=a; j<=b; j++) {
int idx = i-2*j;
if(idx<0) break;
if ( min>dp[idx] ) min=dp[idx];
}
dp[i]=min+1;
}
}
if(dp[l]>=inf) return -1;
else return dp[l];
}
int main()
{
while (scanf("%d%d", &n, &l)!=EOF) {
scanf("%d%d", &a, &b);
inf = (l/a)+9;
for(int i=0; i<=l; i++) dp[i]=inf;
for(int i=0; i<n; i++) {
int s, e;
scanf("%d%d", &s, &e);
for(int j=s+1; j<e; j++) dp[j] = inf+1;
}
if(l&1==1) printf("-1\n");
else printf("%d", dpro());
}
return 0;
}
从上面的程序中我们看到，在最坏的情况下，时间复杂度是O(L^2)，而L的范围可达一百万，
所以在极端的数据下，这个程序是会超时的，所以我们需要对这个程序做一点优化。
在dp过程中的第二层for循环的作用是找出[i-2*b,i-2*a]这段区间的最小值，
这个查找一段区间的最小值的操作可以用线段树来优化，优化后的时间复杂度是O(LlgL)。
代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define L 1001000
int a,b,n,l,inf,dp[L];
int tree[4*L];
void updata(int *p, int rt, int l, int r,int pos, int k)
{
if (l==r) {
p[rt]=k;
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
if (pos<=mid) updata(p,rt<<1, l, mid, pos, k);
else updata(p, rt<<1|1, mid+1, r, pos, k);
int lv=p[rt<<1];
int rv=p[rt<<1|1];
p[rt]=lv<rv?lv:rv;
}
int query(int *p,int rt, int l,int r, int s, int e)
{
if(l==s && e==r) return p[rt];
int mid = (l+r)>>1;
if(e<=mid) return query(p, rt<<1, l, mid, s, e);
if(s>mid) return query(p, rt<<1|1, mid+1, r, s, e);
int lv=query(p,rt<<1, l, mid, s,mid);
int rv=query(p,rt<<1|1, mid+1, r, mid+1, e);
return lv<rv?lv:rv;
}
int dpro(void)
{
if(b<1) return -1;
dp[0]=0;
for(int j=0; j<4*L; j++) tree[j]=L*2;
for(int j=a; j<=b; j++){
if(dp[2*j]<=inf) dp[0+2*j] = dp[0]+1;
updata(tree,1, 1, l ,j,dp[2*j]);
}
for(int i=2*b+2; i<=l; i+=2)
{
int min;
int pos = (i>>1);
min = query(tree, 1, 1, l, pos-b, pos-a);
if (dp[i]<=inf) {
//if(dp[i]>min+1)
dp[i]=min+1;
updata(tree,1,1,l,pos,dp[i]);
/*for(int j=a; j<=b; j++) {
int idx = i-2*j;
if(idx<0) break;
if ( dp[i]>dp[idx]+1 ) dp[i]=dp[idx]+1;
}*/
}
}
if(dp[l]>=inf) return -1;
else return dp[l];
}
int main()
{
while (scanf("%d%d", &n, &l)!=EOF) {
scanf("%d%d", &a, &b);
inf = (l/a)+9;
for(int i=0; i<=l; i++) dp[i]=inf;
for(int i=0; i<n; i++) {
int s, e;
scanf("%d%d", &s, &e);
for(int j=s+1; j<e; j++) dp[j] = inf+1;
}
if(l&1==1) printf("-1\n");
printf("%d\n", dpro());
}
return 0;
}
另一种更好的优化方法是用单调队列优化：
代码：
#include<cstdio>
#define L 1001000
int a,b,n,l,inf,dp[L],queue[L],head,tail,size;
void insert(int idx)
{
tail++;
while(head<tail && dp[queue[tail-1]]>dp[idx]) tail--;
queue[tail]=idx;
while(idx-queue[head]>=size) head++;
}
int dpro(void)
{
if(b<1) return -1;
dp[0]=0;
size=2*b+1;
head=0;
tail=-1;
for(int i=a; i<=b; i++) if(dp[2*i]<=inf) dp[2*i]=1;
int seg = 2*b-2*a;
for(int i=0; i<=seg; i+=2) insert(i);
for(int i=2*b; i<=l; i+=2)
{
if(i-a*2>seg) insert(i-a*2);
while(i-queue[head]>=size) head++;
if (dp[i]<=inf) dp[i]=dp[queue[head]]+1;
}
if(dp[l]>=inf) return -1;
else return dp[l];
}
int main()
{
while (scanf("%d%d", &n, &l)!=EOF) {
scanf("%d%d", &a, &b);
inf = (l/a)+9;
for(int i=0; i<=l; i++) dp[i]=inf;
for(int i=0; i<n; i++) {
int s, e;
scanf("%d%d", &s, &e);
for(int j=s+1; j<e; j++) dp[j] = inf+1;
}
if(l&1==1) printf("-1\n");
else printf("%d\n", dpro());
}
return 0;
}