1.2. Yen 算法
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我从《The K shortest paths problem》这篇文章中学到了另一个算法，名叫 Yen 算法（Yen 是发明者的名字）。它和上面讲的典型的 A* 算法使用相同的启发函数，但是状态的含义以及扩展状态的方式不同。
在 Yen 算法中，状态 x 不仅可以代表从 s 走到 x.v 的一条路径（记作 Psv），更代表了一条从 s 到 t 的完整的路径，也就是 Psv 再连接上 从 x.v 到 t 的最短路径。这一整条路径（记作 Px）的长度就是我们的启发函数 f(x)。
在每个状态 x 中，还需要保存 x.v 在 Psv 中的前一个点，我们记作 x.pre。边 x.pre -> x.v 就称作 Px 的偏离边（deviation edge）； Px 上从 x.pre 到 t 的这一段子路径就称为 Px 的偏离路径（deviation path）。为什么叫作偏离路径，看到后面都明白了。
先求出从 s 到 t 的最短路径，它就是初始状态 x1 所要代表的路径。设它的第一条边是 s -> a，则 x1.v = a； x1.len = w(s, a) （w(s, a) 表示边 s -> a 的长度）； x1.pre = s，也就是说，规定 Px1 的偏离边是 s -> a。
把 x1 放进优先队列。接下来，每当进入最大的循环的第 i 轮，从优先队列里出队的状态（启发值最小的，也就是路径长度目前最短的状态，记作 xi）就代表了第 i 短的解。第一轮出队的当然是前面定义的初始状态 x1。下面要从它发展新的状态，作为可能的第 2 短的解，放进优先队列。发展的方法如下：
对于 Px1 的偏离路径上的每一条边（设它为 u -> v），都要找出另一条边 u -> v'，满足在所有从点 u 出发的边当中， w(u, v') + dt(v') 仅仅高于 w(u, v) + dt(v) （或与它相同）；也就是说，从 u 出发，走 u -> v 这条边到终点是最近的，走 u -> v' 这条边是第 2 近的（或者一样近）。从每一条 u -> v'，我们都可以发展出一个新状态 x'： x'.v = v'； x'.len = w(Psu) + w(u, v')； x'.pre = u，也就是说 Px' 的偏离边就是 u -> v'。
图 1
图 1 给出了一个例子。假设图中蓝色和黑色的边组成的路径就是 Px1，蓝色边是它的偏离路径；那些红色的边就是前面说的那些 u -> v'；红色的虚线就代表了从每个 v' 到 t 的最短路径。可见，每条 Px' 都是从 u -> v' 开始从 Px1 “身上”偏离出来的，因此把 从偏离边到终点 的这一段路径称为 Px' 的偏离路径。
注意，由于本问题中求的路径是可以带环的，所以走到终点以后还可以回头再走。因此，在图 1 中可以看到在点 t 后面也发展了一条偏离路径。这条偏离路径显然不再需要是第 2 短的，而是从 t 出发再回到 t 的最短的路径。
上面讲的是从 x1 发展状态的情况。从之后的 xi 发展状态的时候还有一点要注意：在我们寻找偏离边 u -> v' 的时候，如果 u == xi.pre （也就是当 要找的偏离边 和 xi 的偏离边 是从同一点出发时），则要注意 u -> v' 不仅要和 u -> xi.v 不同，而且要和 xi 的所有祖先状态中从点 u 出发的那条边都不同，不然新发展的状态岂不是和 xi 的祖先状态重复了。
图 2
图 2 给出了一个例子。假设蓝色路径是从黑色路径中发展出的偏离路径；当从蓝色路径发展偏离路径时，要找的是除了蓝色和黑色的边以外，能以最短的距离走到 t 的那条边，假设这里我们找到的是红色的那条边；当从红色路径发展偏离路径时，要找的是除了红色、蓝色和黑色的边以外，能以最短的距离走到 t 的那条边，假设这里我们找到的是绿色的那条边。
如此一来，可能有很多偏离路径都是从同一点偏离出来的，但是它们的偏离边都不相同。要在程序中实现这一点，可以在每个状态中记录下所有祖先状态的偏离边。
显然 Yen 算法也是一个 A* 算法，但是它有一个特点，前面已经说过了，就是最大的那个循环最多只要做 K 次，因为每当一个状态出队列时，我们就找到了一个解。因此基本上可以估计出算法的时间复杂度：
- 设图中有 N 个点，那么一条偏离路径上最多只有 N 条边（因为它是一条边 加上 从某一点到终点的最短路径），也就是说，从一个状态最多发展出 N + 1 个新状态（偏离路径上的每条边发展出一个，从点 t 再发展出一个）。
- 寻找一条偏离路径时，需要扫描从一个点出发的所有边，暂且假设从一个点出发的边最多也是 N 条，那么这一步要花 O(N) 的时间。
- 可以想象优先队列（Open 表）里最多有 O(K * N) 个元素，所以每次维护优先队列的时间差不多是 O( lg (K * N) )。
因此，总的时间复杂度，在最差情况下，差不多就是 O( K * ( N2 + lg(K * N) ) )。当然这只是我个人估计一下，不要太拿它当回事。
同样是在《The K shortest paths problem》这篇文章中，还介绍了作者自已发明的 MPS 算法（MPS 是该文章的三位作者的名字缩写）。它的框架和 Yen 算法相同，但是有一个优化，可以加快寻找偏离边的速度。方法就是把从每个点出发的所有边，都按照从该条边走向 t 的最短距离 升序排序（最好用邻接链表描述图）。
图 3
图 3 给出了一个例子。图中从点 s 出发的边有红、蓝和绿三条，延着它们到达终点 t 的最短距离分别为 3、 2 和 4。因此把从 s 出发的边排序为 (蓝, 红, 绿)。
这样一来，寻找偏离边的时间就只有 O(1) 了。因为我们从某一点第一次发展偏离边时，只要选它的邻接链表中的第一条边；下一次再从该点发展时，只要选第二条边……再也不用一一扫描所有边了，也不用担心会和祖先状态的偏离边重复了。
假设图中有 N 个点，从每个点出发的边最多也是 N 条。那么排序一个点的邻接链表需要 O(N * lg N) 的时间，排序整个邻接链表的时间就是 O(N2 * lgN)；搜索的时间由 Yen 算法的 O(K * N2) 降至 O(K * N)。因此，整个算法在最差情况下的时间复杂度大约就是 O(N2 * lgN + K * N)。（从数字上看，好像也没有比 Yen 算法快到哪去
……但是实际试下来确实是快的。）