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汉明码编码的纠错原理

出自：http://user.qzone.qq.com/48052347/blog/1297330476

参考：汉明码校验原理解析   甘家宝

1.        简介：

当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，这时可以利用汉明码来检测并纠错，简单的说，汉明码是一个错误校验码码集，由Bell实验室的R.W.Hamming发明，因此定名为汉明码。

2.        汉明码的定义和汉明码不等式：

设：m=数据位数，k=校验位数为，n=总编码位数＝m+k，有Hamming不等式：

-

1.   汉明码不等式含义：

a)      
总数据长度为N，如果每一位数据是否错误都要记录，就需要N位来存储。

b)      
每个校验位都可以表示：对或错；校验位共K位，共可表示2^k 种状态

c)        总编码长度为N，所以包含某一位错和全对共N+1种状态。

d)      
所以2^k≧N+1

e)        数据表见下

2.   Hamming码缺点：

无法实现2位或2位以上的纠错，Hamming码只能实现一位纠错。

3.   以典型的4位数据编码为例，演示汉明码的工作过程

a)  
数据存储格式：

依照此前的汉明码不等式计算出,当数据位为4位时,汉明码校验位至少为3位,如上方式排列

可以看的出D8、D4、D2、D1中的数字都是2的整数幂

b)  
汉明校验码的插入规律：

l  设：编码位代号k，校验码位代号p，数据位代号n

l  某个校验码Pp将处于整个编码的第k位

l  k=2^(p-1)=2的（p-1）次方

l  以数据位为5的一组9位数编码为例，如下：

c)  
校验位与数据位的对应关系：

注：^是逻辑运算符异或.

P1=D8^D4^D1

P2=D8^D2^D1

P3=D4^D2^D1

小解释：数据位共4位每行等式都缺少一位，而缺少的这位数据位正好是DX，等式左边的校验位为PY，X=2^y（2的y次方）

d)  
校验位如何参与计算：

P1’=P1^D8^D4^D1

P2’=P2^D8^D2^D1

P3’=P3^D4^D2^D1

从高到低排列的二进制数：P3’ P2’ P1’表示的就是出错的编码位，从000-011-101-110-111共5种组合，其中000表示没错，011表示第三位错误，101,110,111分别表示第5,6,7位错误。可表示原数据位D8D4D2D1某一位错&没错的一共5种状态.

e)  
设有一数字为：1101，带入运算：

l  D8=1、D4=1、D2=0、D1=1，

l  P1 =1，P2=0、P3=0。

l  汉明码处理的结果就是1010101

l  假设：D8出错，P3’ P2’ P1’=011=十进制的3，即表示编码后第三位出错，对照存储格式表，果然就是D8错误.

l  假设：D4错误，P3’ P2’ P1’=101=十进制的5，即表示编码后第五位出错，对照存储格式表，果然就是D4错误.