错排
n各有序的元素应有n!种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上,则称这个排列为错排。任给一个n,求出1,2,……,n的错排个数Dn共有多少个。
递归关系式为:D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))
D(1)=0,D(2)=1
可以得到:
错排公式为 f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]
其中,n!=1*2*3*.....*n,
特别地,有0!=0,1!=1.
解释:
n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成:
第一步,“错排” 1 号元素(将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一),有 n - 1 种方法。
第二步,“错排”其余 n - 1 个元素,按如下顺序进行。视第一步的结果,若1号元素落在第 k 个位置,第二步就先把 k 号元素“错排”好, k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生:
1、 k 号元素排在第1个位置,留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”,有 f(n -2) 种方法;
2、 k 号元素不排第 1 个位置,这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素,可以放到1位置中),于是形成(包括 k 号元素在内的) n - 1 个元素的“错排”,有 f(n - 1) 种方法。据加法原理,完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。
根据乘法原理, n 个不同元素的错排种数
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。
总结公式: A[i]=(i-1)x(A[I-1]+A[I-2]); A[0]=0,A[1]=0,A[2]=1; 牢记!!!
代码:
import java.util.*; import java.io.*; import java.math.BigInteger; public class CuoPai { public static void main(String[] args) { Scanner sc=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in)); int m=sc.nextInt(); int n=sc.nextInt(); if(n<=m){ System.out.println(getCount(n)); } } public static BigInteger getCount(int n){ BigInteger big[]=new BigInteger[n+1]; big[0]=BigInteger.ZERO; big[1]=BigInteger.ZERO; big[2]=BigInteger.ONE; for(int i=3;i<=n;i++){ big[i]=BigInteger.valueOf(i-1).multiply(big[i-1].add(big[i-2])); } return big[n]; } }
组合: 公式 C(m,n)=A(m,n)/n!=m!/(m-n)!/n!
第一种方法:利用公式求组合
import java.util.*; import java.io.*; import java.math.BigInteger; public class zhuHe { public static void main(String args[]) { Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in)); int m = sc.nextInt(); int n = sc.nextInt(); if (n <= m) { System.out.println(getCount(m).divide(getCount(m - n)).divide( getCount(n))); } } public static BigInteger getCount(int n) { BigInteger big[] = new BigInteger[n + 1]; big[0] = BigInteger.ONE; big[1] = BigInteger.ONE; BigInteger sum = BigInteger.ONE; for (int i = 1; i <= n; i++) { big[i] = big[i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(i)); } return big[n]; } }
第二种方法 利用算法求组合
import java.util.*; import java.io.*; import java.math.BigInteger; public class zhuHe { public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in)); int m = sc.nextInt(); int n = sc.nextInt(); if (n <= m) System.out.println(getCount(m, n)); } public static BigInteger getCount(int m, int n) { if (n == 0) return BigInteger.ONE; BigInteger sum1 = BigInteger.ONE; BigInteger sum2 = BigInteger.ONE; for (int i = 0; i < n; i++) { sum1 = sum1.multiply(BigInteger.valueOf(m - i)); sum2 = sum2.multiply(BigInteger.valueOf(i + 1)); } return sum1.divide(sum2); } }