Fibonacci数列通项公式∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}
性质：
1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。
3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。
4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。
5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1。
6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)。
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]
11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每3个数有且只有一个被2整除， 每4个数有且只有一个被3整除, 每5个数有且只有一个被5整除， 每6个数有且只有一个被8整除, 每7个数有且只有一个被13整除， 每8个数有且只有一个被21整除, 每9个数有且只有一个被34整除， ....... 我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契数列的个位数：一个60步的循环
11235,83145,94370,77415,61785.38190, 99875,27965,16730,33695,49325,72910…
本题题意：
本题可以利用性质4 和 6
定义sum[i]=sigma(p[j]) 1<=j<=i .
有p[i]=f[2*i-1]^2+f[2*i]^2.
则由公式4可知sum[i]=f[2*i]*f[2*i+1].
之后直接求得sum[r]-sum[l-1]即可。
这是我第一次矩阵连乘 用的是预处理f[2^n].
HDU 跑了78ms 第11 估计前10个跑62的 都是贴的同一个模板吧
#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
ll mtrx[60][2][2];
void debug (ll a[][2])
{
printf("%lld %lld\n%lld %lld\n",a[0][0],a[0][1],a[1][0],a[1][1]);
}
void pre_pro()
{
memset (mtrx , 0 , sizeof(mtrx));
mtrx[0][0][0]=1;mtrx[0][0][1]=1;
mtrx[0][1][0]=1;mtrx[0][1][1]=0;
for (int t=0 ; t<60 ; ++t)
for (int i=0 ; i<2 ; ++i)
for (int j=0 ; j<2 ; ++j)
{
for (int k=0 ; k<2 ; ++k)
mtrx[t+1][i][j]+=mtrx[t][i][k]*mtrx[t][k][j];
mtrx[t+1][i][j]%=mod;
}
}
ll fib (ll a)
{
a--;
ll mat[2][2]={1,0,0,1};
ll tmp[2][2];
for (int p=0 ; a ; a>>=1 , ++p)
{
if(!(a&1))continue;
tmp[0][0]=mat[0][0];tmp[0][1]=mat[0][1];
tmp[1][0]=mat[1][0];tmp[1][1]=mat[1][1];
memset (mat, 0 , sizeof(mat));
for (int i=0 ; i<2 ; ++i)
for (int j=0 ; j<2 ; ++j)
{
for (int k=0 ; k<2 ; ++k)
mat[i][j]+=mtrx[p][i][k]*tmp[k][j];
mat[i][j]%=mod;
}
}
//debug (mat);
return mat[0][0];
}
ll sum(ll a)
{
if(a==0)return 0;
else return fib(2*a)*fib(2*a+1)%mod;
}
int main ()
{
pre_pro();
int cas;
//freopen ("in.in","r",stdin);
//freopen ("out.txt","w",stdout);
//for (int i=0 ; i<20 ; ++i) debug(mtrx[i]);
scanf("%d",&cas);
while (cas--)
{
ll l,r;
scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
printf("%d\n",(sum(r)-sum(l-1)+mod)%mod);
}
return 0;
}