读《On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems》
A formula is a finite sequence of natural numbers, and a proof is a finite sequence of finite sequences of natural numbers.
formulas are sequences of natural numbers -> expressible in PM
class-sign: a formula of PM with exactly one free variable of type natural numbers
K = {n belongs IN | not provable(Rn(n))}
K is the set of numbers where the formla Rn(n) that you get when you insert n into its own formula Rn is improvable.
for a specic natural number q. We will now prove that the theorem Rq(q) is
undecidable within PM. We can understand this by simply plugging in the denitions:
Rq(q) , S(q) , q 2 K , :provable(Rq(q)), in other words, Rq(q) states /I am improvable."
Assuming the theorem Rq(q) were provable, then it would also be true, i.e. because of
(1) :provable(Rq(q)) would be true in contradiction to the assumption. If on the other
hand :Rq(q) were provable, then we would have q 62 K, i.e. provable(Rq(q)). That
means that both Rq(q) and :Rq(q) would be provable, which again is impossible.
P is the system that you get by building the logic of PM on top of Peano axioms.
还是没有完全明白，尤其是在前言中的这段话，为什么就冲突了呢？不过前面部分的大意还是读懂了。我读的这篇文章是将德文原版翻译为英文的翻译版本，并且只翻译了前两部分，后两部分没翻译。译者指出，直接读原文有这样三个困难：
- 原文为德文
- 哥德尔使用了很多那个时代的符号，注记
- 哥德尔写作这篇文章时假定他的读者有足够的数学知识
为了克服这三个困难，译者使用了下面这些方法来解决这些问题：
- 使用英语翻译
- 用人们熟悉的符号来代替那些人们不太熟悉的符号
- 对于一些人们可能不熟悉的地方，作者使用了超链接来指向这些地方的说明
这篇文章的背景大概是这样的：
在20世纪初期，人们惊讶地发现自从有了几个公理（形式）系统后，似乎所有的定理都是那几条公理的组合。当时的公理系统主要有两个，一个是数学原理Principia Mathematica（PM），一个是Zermelo-Fraenkelian的集合公理系统。
因为所有的定理都是几条公理的组合，因此人们自然而然地就想，是不是这个公理系统中所有的定理都可以用这几个公理来表示，或者，用这几个公理来证明？就在人们欢欣鼓舞，赞叹数学的完美时，哥德尔发表了这篇文章，在文章中他证明了在所有的形式系统中，都至少有一个命题是不可证的，并举出了几个例子。他的证明方法很有意思，首先要使所证明的系统属于PM，他使用自然数来代替所有的符号做到了这一点。他并不是直接证明在所有的形式系统中都有一个不可证的命题，而是先证明在两个条件下的形式系统存在不可证的命题，然后再进一步讨论，去除这两个条件后的情况，从而证明了在所有的形式系统中都有不可证明的命题。
上面那段英文是我读这篇文章的笔记，是一些比较重要的概念，在读这篇文章时记下这些概念很有用。
读这篇文章的其他收获：
- 需要精读的文章，首先要粗略地看一遍，然后再开始读，这时就会心中有数，哪里比较容易懂，哪里比较耗时间。这样在精读过程中遇到问题就不会太着急了。
- 读经典文章，要多花些时间，多分配一些时间。如果仅仅是匆匆地浏览一遍，收获不会很大。
- 读这些文章，不会有立竿见影的效果，是一种长期的积淀。
- 如果在专家的指导下读这篇文章，会好很多，如果有人讨论一下，效果也会好很多。
- 我很犹豫，要不要跟翻译这篇文章的人发封电子邮件，发邮件是对的，也许有一天，我会发封这样的邮件。