如果矩阵A有一个r阶子式不为零，所有的r+1阶子式（如果存在r+1阶子式）都等于零，则可推出A的所有更高阶的子式全为零，于是r是A的非零子式的最高阶数，该阶数称为A的秩。这是书上对矩阵的秩的定义，那矩阵的秩更本质的含义是什么呢，或者是其在线性几何空间中所表示的是什么？
说到矩阵的秩就不得不提到向量组的秩，即向量组的极大无关组所含向量的个数，而极大无关组则是一个向量组中的一组线性无关的向量，且向量组中任意的向量都可由这组线性无关向量线性表出。
矩阵无非就是一组向量的集合，就是由这组向量所构成的一个线性空间，而矩阵的秩是和其行秩和列秩相等的，也就是说矩阵的秩就是等于构成该矩阵的向量组的秩的。而该向量组中的每一个向量都是可以由该组中的极大无关向量组线性表出的，也就是说存在着这样一个线性空间，空间中的所有的向量都可由一组特定的向量来表示，这组特定向量就决定了这样的一个线性空间，这组特定的向量就是向量组中的极大无关组，该极大无关组的个数，就是向量空间的维数。
举一个例子，对于我们熟悉的2维平面空间来说，表示坐标轴的两个向量就组成了该空间中的一个极大无关组，该空间上的任意向量都可由这两个向量线性表出，该空间的秩即是该空间的维数。
以上仅是一些粗浅的探讨，如果你有其他的看法欢迎指正。