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题目：

Josephus问题的定义如下：假设n个人排成环形，且有以正整数m<=n。从某个制定的人开始，沿环报数，每遇到第m个人就让其出列，且报数进行下去。这个过程一直进行到所有人都出列为止。每个人出列的次序定义了整数1，2，...，n的(n, m)-Josephus排列。例如，(7,3)-Josephus排列为<3,6,2,7,5,1,4>。
a)假设m为整数。请描述一个O(n)时间的算法，使之对给定的整数n，输出(n, m)-Josephus排列。
b)假设m不是个常数。请描述一个O(nlgn)时间的算法，使给定的整数n和m，输出(n, m)-Josephus排列。

 思考：

利用14.1中的动态顺序统计，假设刚刚删除的是剩余点中的第start个点（初始时为0），此时还剩下t个点，那么下一个要删除的是剩余点的第（start+m-1）%t个点

步骤1：基础数据结构

红黑树

步骤2：附加信息

size[x]：以x为根的子树的（内部）结点数（包括x本身），即子树的大小。size[nil[T]]=0

步骤3：对信息的维护

size[x] = size[left[x]] + size[right[x]] + 1

插入操作：从插入结点到根结点都要更新O(lgn)

旋转操作：只需要更新旋转轴上的两个点O(1)

删除操作：从删除结点的父结点开始到根结点都要更新O(lgn)

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

#define BLACK 0
#define RED 1

//红黑树结点结构
struct node
{
	//红黑树的基础结构
	node *left;
	node *right;
	node *parent;
	int key;
	bool color;
	int size;//以x为根的子树的（内部）结点数（包括x本身），即子树的大小
	node(node *init, int k)
		:left(init),right(init),parent(init),key(k),color(BLACK),size(1){}
};
//顺序统计量树结构
struct Os_Tree
{
	node *root;//根结点
	node *nil;//哨兵
	Os_Tree(){nil = new node(NULL, -1);nil->size = 0;root = nil;};
};
//对附加信息的维护
void Maintaining(node *x)
{
	while(x->key >= 0)
	{
		x->size = x->left->size + x->right->size + 1;
		x = x->parent;
	}
}
//左旋，令y = x->right, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转
//涉及到的结点包括：x,y,y->left，令node={p,l,r},具体变化如下：
//x={x->parent,x->left,y}变为{y,x->left,y->left}
//y={x,y->left,y->right}变为{x->parent,x,y->right}
//y->left={y,y->left->left,y->left->right}变为{x,y->left->left,y->left->right}
void Left_Rotate(Os_Tree *T, node *x)
{
	//令y = x->right
	node *y = x->right;
	//按照上面的方式修改三个结点的指针，注意修改指针的顺序
	x->right = y->left;
	if(y->left != T->nil)
		y->left->parent = x;
	y->parent = x->parent;
	if(x->parent == T->nil)//特殊情况：x是根结点
		T->root = y;
	else if(x == x->parent->left)
		x->parent->left = y;
	else 
		x->parent->right = y;
	y->left = x;
	x->parent = y;
	//对附加信息的维护
	y->size = x->size;
	x->size = x->left->size + x->right->size + 1;
}
//右旋，令y = x->left, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转
//旋转过程与上文类似
void Right_Rotate(Os_Tree *T, node *x)
{
	node *y = x->left;
	x->left = y->right;
	if(y->right != T->nil)
		y->right->parent = x;
	y->parent = x->parent;
	if(x->parent == T->nil)
		T->root = y;
	else if(x == x->parent->right)
		x->parent->right = y;
	else 
		x->parent->left = y;
	y->right = x;
	x->parent = y;
	//对附加信息的维护
	y->size = x->size;
	x->size = x->left->size + x->right->size + 1;
}
//红黑树调整
void Os_Tree_Insert_Fixup(Os_Tree *T, node *z)
{
	node *y;
	//唯一需要调整的情况，就是违反性质2的时候，如果不违反性质2，调整结束
	while(z->parent->color == RED)
	{
		//parent[z]是左孩子时，有三种情况
		if(z->parent == z->parent->parent->left)
		{
			//令y是z的叔结点
			y = z->parent->parent->right;
			//第一种情况，z的叔叔y是红色的
			if(y->color == RED)
			{
				//将parent[z]和y都着为黑色以解决z和parent[z]都是红色的问题
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				//将parent[parent[z]]着为红色以保持性质5
				z->parent->parent->color = RED;
				//把parent[parent[z]]当作新增的结点z来重复while循环
				z = z->parent->parent;
			}
			else
			{
				//第二种情况：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子
				if(z == z->parent->right)
				{
					//对parent[z]左旋，转为第三种情况
					z = z->parent;
					Left_Rotate(T, z);
				}
				//第三种情况：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子
				//交换parent[z]和parent[parent[z]]的颜色，并右旋
				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				Right_Rotate(T, z->parent->parent);
			}
		}
		//parent[z]是右孩子时，有三种情况，与上面类似
		else if(z->parent == z->parent->parent->right)
		{
			y = z->parent->parent->left;
			if(y->color == RED)
			{
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				z = z->parent->parent;
			}
			else
			{
				if(z == z->parent->left)
				{
					z = z->parent;
					Right_Rotate(T, z);
				}
				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				Left_Rotate(T, z->parent->parent);
			}
		}
	}
	//根结点置为黑色
	T->root->color = BLACK;
}
//插入一个结点
void Os_Tree_Insert(Os_Tree *T, node *z)
{
	node *y = T->nil, *x = T->root;
	//找到应该插入的位置，与二叉查找树的插入相同
	while(x != T->nil)
	{
		y = x;
		if(z->key < x->key)
			x = x->left;
		else if(z->key > x->key)
			x = x->right;
	}
	z->parent = y;
	if(y == T->nil)
		T->root = z;
	else if(z->key < y->key)
		y->left = z;
	else
		y->right = z;
	z->left = T->nil;
	z->right = T->nil;
	//将新插入的结点转为红色
	z->color = RED;
	//从新插入的结点开始，向上调整
	Os_Tree_Insert_Fixup(T, z);
	Maintaining(z);
}
//对树进行调整，x指向一个红黑结点，调整的过程是将额外的黑色沿树上移
void Os_Tree_Delete_Fixup(Os_Tree *T, node *x)
{
	node *w;
	//如果这个额外的黑色在一个根结点或一个红结点上，结点会吸收额外的黑色，成为一个黑色的结点
	while(x != T->root && x->color == BLACK)
	{
		//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）
		if(x == x->parent->left)
		{
			//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理
			//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的
			w = x->parent->right;
			//第一种情况：w是红色的
			if(w->color == RED)
			{
				//改变w和parent[x]的颜色
				w->color = BLACK;
				x->parent->color = RED;
				//对parent[x]进行一次左旋
				Left_Rotate(T, x->parent);
				//令w为x的新兄弟
				w = x->parent->right;
				//转为2.3.4三种情况之一
			}
			//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色
			if(w->left->color == BLACK && w->right->color == BLACK)
			{
				//去掉w和x的黑色
				//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色
				w->color = RED;
				//在parent[x]上补一层黑色
				x = x->parent;
				//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理
			}
			//第三种情况，w是黑色的,w->left是红色的,w->right是黑色的
			else
			{
				if(w->right->color == BLACK)
				{
					//改变w和left[x]的颜色
					w->left->color = BLACK;
					w->color = RED;
					//对w进行一次右旋
					Right_Rotate(T, w);
					//令w为x的新兄弟
					w = x->parent->right;
					//此时转变为第四种情况
				}
				//第四种情况：w是黑色的,w->left是黑色的,w->right是红色的
				//修改w和parent[x]的颜色
				w->color =x->parent->color;
				x->parent->color = BLACK;
				w->right->color = BLACK;
				//对parent[x]进行一次左旋
				Left_Rotate(T, x->parent);
				//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环
				x = T->root;
			}
		}
		//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）
		else if(x == x->parent->right)
		{
			//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理
			//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的
			w = x->parent->left;
			//第一种情况：w是红色的
			if(w->color == RED)
			{
				//改变w和parent[x]的颜色
				w->color = BLACK;
				x->parent->color = RED;
				//对parent[x]进行一次左旋
				Right_Rotate(T, x->parent);
				//令w为x的新兄弟
				w = x->parent->left;
				//转为2.3.4三种情况之一
			}
			//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色
			if(w->right->color == BLACK && w->left->color == BLACK)
			{
				//去掉w和x的黑色
				//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色
				w->color = RED;
				//在parent[x]上补一层黑色
				x = x->parent;
				//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理
			}
			//第三种情况，w是黑色的,w->right是红色的,w->left是黑色的
			else
			{
				if(w->left->color == BLACK)
				{
					//改变w和right[x]的颜色
					w->right->color = BLACK;
					w->color = RED;
					//对w进行一次右旋
					Left_Rotate(T, w);
					//令w为x的新兄弟
					w = x->parent->left;
					//此时转变为第四种情况
				}
				//第四种情况：w是黑色的,w->right是黑色的,w->left是红色的
				//修改w和parent[x]的颜色
				w->color =x->parent->color;
				x->parent->color = BLACK;
				w->left->color = BLACK;
				//对parent[x]进行一次左旋
				Right_Rotate(T, x->parent);
				//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环
				x = T->root;
			}
		}
	}
	//吸收了额外的黑色
	x->color = BLACK;
}
//找最小值   
node *Os_Tree_Minimum(Os_Tree *T, node *x)  
{  
    //只要有比当前结点小的结点   
	while(x->left != T->nil)  
        x = x->left;  
    return x;  
} 
//查找中序遍历下x结点的后继，后继是大于key[x]的最小的结点   
node *Os_Tree_Successor(Os_Tree *T, node *x)  
{  
    //如果有右孩子   
	if(x->right != T->nil)  
        //右子树中的最小值   
        return Os_Tree_Minimum(T, x->right);  
    //如果x的右子树为空且x有后继y，那么y是x的最低祖先结点，且y的左儿子也是   
    node *y = x->parent;  
    while(y != NULL && x == y->right)  
    {  
        x = y;  
        y = y->parent;  
    }  
    return y;  
}  
//递归地查询二叉查找树   
node *Os_Tree_Search(node *x, int k)  
{  
    //找到叶子结点了还没找到，或当前结点是所查找的结点   
	if(x->key == -1 || k == x->key)  
        return x;  
    //所查找的结点位于当前结点的左子树   
    if(k < x->key)  
        return Os_Tree_Search(x->left, k);  
    //所查找的结点位于当前结点的左子树   
    else  
        return Os_Tree_Search(x->right, k);  
} 
//红黑树的删除
node *Os_Tree_Delete(Os_Tree *T, node *z)
{
	//找到结点的位置并删除，这一部分与二叉查找树的删除相同
	node *x, *y;
	if(z->left == T->nil || z->right == T->nil)
		y = z;
	else y = Os_Tree_Successor(T, z);
	if(y->left != T->nil)
		x = y->left;
	else x = y->right;
	x->parent = y->parent;
	if(y->parent == T->nil)
		T->root = x;
	else if(y == y->parent->left)
		y->parent->left = x;
	else
		y->parent->right = x;
	Maintaining(y->parent);
	if(y != z)
	{
		z->key = y->key;
		Maintaining(z);
	}
	//如果被删除的结点是黑色的，则需要调整
	if(y->color == BLACK)
		Os_Tree_Delete_Fixup(T, x);
	return y;
}

//查找以x为根结点的树中第i大的结点  
node *Os_Tree_Select(node *x, int i)  
{  
    //令x左子树中点的个数为r-1,  
    int r = x->left->size +1;  
    //那么x是x树中第r大的结点  
    if(r == i)  
        return x;  
    //第i大的元素在x->left中  
    else if(i < r)  
        return Os_Tree_Select(x->left, i);  
    //第i大的元素在x->right中  
    else  
        return Os_Tree_Select(x->right, i - r);  
}  

int main()
{
	//生成一棵动态顺序统计树
	Os_Tree *T = new Os_Tree;
	int m, n, i;
	while(cin>>n>>m)
	{
		//将1.,n依次插入到树中
		for(i = 1; i <= n; i++)
		{
			node *z = new node(T->nil, i);
			Os_Tree_Insert(T, z);
		}
		int t = n, start = 0;
		//还有剩余结点
		while(t)
		{
			//计算下一个要删除的结点在剩余结点中的位置
			start = (start + m - 1) % t;
			//找到这个结点
			node *ret = Os_Tree_Select(T->root, start+1);
			cout<<ret->key<<' ';
			//删除这个结点
			Os_Tree_Delete(T, ret);
			t--;
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}