学步园

问题详述：一个机器人每步随机走1米或2米，求机器人走n米的方法数MethodNum(n)，并列出所有的走法。

个人思考：

1.实际上MethodNum(n)=fibonacci(n+1)，用数学归纳法也可证明，或者可以考虑机器人走的第一步：若是第一步走1米，走完剩下n-1米的方法数为Method(n-1)；若是第一步走2米，走完剩下n-2米的方法数为Method(n-2)当然，前提是n>=3；那么Method(n)=Method(n-1)+Method(n-2)，再考虑初值，Method(1)=1;Method(2)=2——可补充定义Method(0)=1;那么Method(n)对应的数列为fibonacci数列是显然的。

2.现在考虑罗列出所有的走法

想了很久最后还是决定用栈：机器人所有的走法，都可以从1,1,1,...,1这n个1组成的栈开始输出。假设栈的每个元素只能取1或者2，栈从下至上的元素排列对应机器人的一个走法。现在让栈顶元素出栈，往下加1（如果能加的话）只要产生了2，那么这个排列就一定会是新的走法（可自行验证）。如果不能加的话，要么是结束了，要么就是遇到2，那么2继续出栈。那么现在的关键是：什么情况下输出栈中所有元素？输出栈中所有元素的条件就是栈中所有元素之和为n.

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXSIZE 100

void RobotWalkingSteps(int n);

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	RobotWalkingSteps( 7 );
	return 0;
}

void RobotWalkingSteps(int n)
{
	int stack[MAXSIZE];
	//初始化栈
	for(int i = 0; i < n; ++i)
	{
		stack[i] = 1;
	}
	int top = n-1;
	int sum = n;
	while(1)
	{
		if(sum == n)
		{
			for(int i = 0; i <= top; ++i)
			{
				cout<<stack[i]<<"\t";
			}
			cout<<endl;
			//栈顶元素出栈
			sum -= stack[top];
			--top;

			//出栈后我们想要往下加1，那么得判断后面的元素，如果是2，那么继续出栈
			while(1)
			{
				if (top == -1)
				{
					//程序结束了
					cout<<"输出完毕"<<endl;
					return;
				}
				if (stack[top] == 1)
				{
					//沉到这里就得到了一个不同走法的前面几步
					++stack[top];
					++sum;
					break;//不用再往下沉了，准备把后面的几步初始为1
				}
				else
				{
					//否则的话，说明栈顶元素是2，出栈，继续往下搜索
					--top;
					sum -= 2;
				}
			}
		}
		else
		{
			//此时因为sum != n 说明我们出栈了一些元素，并且使得一个1变成2了
			for(int i = top + 1; sum < n; ++i)
			{
				stack[i] = 1;
				++top;
				++sum;
			}
		}
	}

}

 推广)

如果机器人一步可以走3米的话，那么若假设走n米的方法数为Method(n)，那么Method(n)=Method(n-1)+Method(n-2)+Method(n-3).

那如何罗列出所有的走法，之前的方法同样可行吗？答案是可行的。

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXSIZE 100

void RobotWalkingSteps(int n);

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	RobotWalkingSteps( 7 );
	return 0;
}

void RobotWalkingSteps(int n)
{
	int stack[MAXSIZE];
	//初始化栈
	for(int i = 0; i < n; ++i)
	{
		stack[i] = 1;
	}
	int top = n-1;
	int sum = n;
	int countMethod = 0;
	while(1)
	{
		if(sum == n)
		{
			for(int i = 0; i <= top; ++i)
			{
				cout<<stack[i]<<"\t";
			}
			cout<<endl;
			++countMethod;
			//栈顶元素出栈
			sum -= stack[top];
			--top;

			//出栈后我们想要往下加1，那么得判断后面的元素，如果是3，那么继续出栈
			while(1)
			{
				if (top == -1)
				{
					//程序结束了
					cout<<"输出完毕"<<endl;
					cout<<countMethod<<endl;
					return;
				}
				if (stack[top] == 1)
				{
					//沉到这里就得到了一个不同走法的前面几步
					++stack[top];
					++sum;
					break;//不用再往下沉了，准备把后面的几步初始为1
				}
				else
					if (stack[top] == 2)
					{
						//沉到这里也得到了一个不同走法的前面几步
						++stack[top];
						++sum;
						break;//不用往下沉了，准备把后面的几步初始为1
					}
					else
					{
						//否则的话，说明栈顶元素是3，出栈，继续往下搜索
						sum -= stack[top];
						--top;
					}
			}
		}
		else
		{
			//此时因为sum != n 说明我们出栈了一些元素，并且使得一些元素发生改变了
			for(int i = top + 1; sum < n; ++i)
			{
				stack[i] = 1;
				++top;
				++sum;
			}
		}
	}
}

 事实上，走步问题对应着一个逢K进位的表达序列，其和为n，那么其中的判断语句可以用下面的形式表示：

void RobotWalkingSteps(int n)
{
	int stack[MAXSIZE];
	//初始化栈
	for(int i = 0; i < n; ++i)
	{
		stack[i] = 1;
	}
	int top = n-1;
	int sum = n;
	int countMethod = 0;
	while(1)
	{
		if(sum == n)
		{
			for(int i = 0; i <= top; ++i)
			{
				cout<<stack[i]<<"\t";
			}
			cout<<endl;
			++countMethod;
			//栈顶元素出栈
			sum -= stack[top];
			--top;

			//出栈后我们想要往下加1，那么得判断后面的元素，如果是K，那么继续出栈
			while(1)
			{
				if (top == -1)
				{
					//程序结束了
					cout<<"输出完毕"<<endl;
					cout<<countMethod<<endl;
					return;
				}
				if (stack[top] == K)
				{
					//出栈，继续往下搜索
					sum -= stack[top];
					--top;
				}
				else
				{
					//说明栈顶元素可以+1，得到了一个不同走法的前面几步
					++stack[top];
					++sum;
					break;//不用往下沉了，准备把后面的几步初始为1
				}
			}
		}
		else
		{
			//此时因为sum != n 说明我们出栈了一些元素，并且使得一些元素发生改变了
			for(int i = top + 1; sum < n; ++i)
			{
				stack[i] = 1;
				++top;
				++sum;
			}
		}
	}
}