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问题描述

某个序列的子序列是从最初序列通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置而形成的新序列。

给定两个序列X和Y，如果Z既是X的一个子序列又是Y的一个子序列，则称Z是X，Y的公共子序列。

给定两个序列X={x1,x2...,xm}和Y={y1,y2...yn},找出Z={z0，z1，…，zk}为它们的最长公共子序列.

最优子结构

设X={x1,x2...,xm}和Y={y1,y2...yn}为两个序列，Z={z0，z1，…，zk}为任意一个LCS。

1)如果xm=ym，那么zk=xm=ym，且Zk-1为Xm-1和Yn-1的一个LCS。

2)如果xm!=ym&&zk!=xm,那么Z是Xm-1和Y的一个LCS。

3)如果xm!=ym&&zk!=yn,那么Z是X和Yn-1的一个LCS。

状态转移方程

c[i,j]为序列Xi和Yi的一个LCS的长度。

代码实现

//LCS
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
void LCS_Length(string x,string y,int (*c)[100],int (*b)[100])
{
	int m,n;
	m=x.length();
	n=x.length();
	int i,j;
	//如果i或j等于0则c[i][j]=0;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		c[i][0]=0;
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		c[0][i]=0;
	}
	//遍历两个字符串，依次标记c[i][j]，c[i][j]标记了从x的开始到第i个元素与从
	//y开始到第j个元素中LCS的长度
	//数组b用来标记最长公共子串所要走的路线，该路线为两个字符串组成的矩阵中的对应的字母
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			if(x[i-1]==y[j-1])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
				//代替箭头指向左上
				b[i][j]=1;
			}
			else
			{
				if(c[i][j-1]>=c[i-1][j])
				{
					c[i][j]=c[i][j-1];
					//代替箭头指左
					b[i][j]=2;
				}
				else
				{
					c[i][j]=c[i-1][j];
					//代替箭头指向上
					b[i][j]=3;
				}
			}
		}
	}
}
void PrintAnswer(string x,int(*b)[100],int i,int j)
{
	if(i==0||j==0)
	{
		return ;
	}
	else
	{
		if(b[i][j]==1)
		{
			PrintAnswer(x,b,i-1,j-1);
			cout<<x[i-1]<<" ";
		}
		else if(b[i][j]==2)
		{
			PrintAnswer(x,b,i,j-1);
		}
		else
		{
			PrintAnswer(x,b,i-1,j);
		}
	}
}
int main()
{
	string x="abcbda";
	string y="bdcaba";
	int c[100][100]={0};
	int b[100][100]={0};
	LCS_Length(x,y,c,b);
	cout<<"the LCS is: "<<c[x.length()][y.length()]<<endl;
	PrintAnswer(x,b,x.length(),y.length());
	return 0;

}

参考：最长公共子串LCS代码实现-http://blog.csdn.net/liuzhanchen1987/article/details/7851413