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第三题

题目：

输入一个整型数组，数组里面有正数也有负数，数组中连续的一个或者多个数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。

求，所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O（n）

分析：

本题是一个典型的使用动态规划算法的题目。

动态规划算法的使用基本要素是1、最优子结构（当问题的最优解包含了其子问题的最优解，成该问题具有最优子结构性质）

2、重叠子问题（也就是说如果使用递归算法自顶朝下求解问题时，每次产生的子问题并不是新问题，有一些子问题被反复计算多次）。

对于本题，要求计算和最大的一个子数组，对于是不是最优子结构的分析，假设数组为a[] （size=n），那么可以分割成为0-n-2和1-n-1两个子问题。

这两个子问题里面又都包含1-n-2子问题，可以使用递归算法，但是由于使用递归算法会造成大量的子问题的求解，因此使用动态规划算法。

动态规划算法

设SUM[i]为前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续数组，result为已找到的子数组中最大的，对于第i+1个元素，有两种选择，1.作为新子数组的

第一个元素，2.放入前面找到的数组。

sum[i+1] = max(a[i+1],sum[i]+a[i+1]);

本题若使用顺序求解算法 复杂度为O(n^2)，递归求解算法复杂度为O(nlogn)，动态规划算法复杂度为O（n）

顺序求解

递归求解

动态规划

代码：

#include<iostream>

using namespace std;

int maxSubArray(int *a, const int length)
{
	int maxSumSubArray = 0;

	int sum_i = 0;

	for(int i=0; i <length; i++)
	{
		sum_i = sum_i + a[i];

		if(sum_i < 0) sum_i = 0;
		else
		{
			if(sum_i > maxSumSubArray) maxSumSubArray = sum_i;
		}
	
	}

	//若是数组中的元素均为负值
	if(sum_i==0)
	{
		for(int i=0; i < length; i++)
		{
			if(a[i] > maxSumSubArray) maxSumSubArray = a[i];
		}
	}
	
	return maxSumSubArray;
	
}

int main()
{

	int a[10] = {1, 3, -3, -4 ,5 ,-2, 6, -1, 2, -6};
	int length = sizeof(a)/sizeof(int);

	cout<<maxSubArray(a,length);
	return 0;


}