关于函数导数（或微分）的定义是微积分学的基本问题。简而言之，∆x与∆y究竟是什么东西？也就是说，这些逐渐消逝的增量（Evanescent
increment），在数学上怎么严格定义它们？
回顾历史，牛顿与莱布尼兹就是利用这种含含糊糊的∆x与∆y创立了微积分学。1734年，英国大主教Berkeley对此混乱状况提出了最激烈的批评，他公开地说：”......What
are these same evanescent increment ?They are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the ghost of departed qua ntities?“意思是说，”...这些逐渐消逝的增量究竟是什么？它们既不是有限量，也不是无限小的量，什么都不是。难道我们不能称它们是逝去量的鬼魂？“
实际上，Berkeley的严厉批评让当时数学家们非常尴尬。1872年，维尔斯特拉斯提出的（ε，δ）极限论解决方案只是巧妙地回避了Berkeley的批评。但是，（ε，δ）方法并没有完全阻止”无限地趋近于“，”任意地小“这类含含糊糊的说辞。事实上，这些问题并没有得到彻底的解决。
1960年秋，A.Robinson借助实数系的非标准模型彻底解决了这个存在三百年的”老大难“问题。1976年，模型论学者J.Keisler利用两条模型论公理，即”延伸公理“与”转移公理“，把问题说得更加清楚，更加透彻，可以让大学低年级学生”明白”，听入脑壳。我们把话说明白了就是，微积分学有两个“模型”：实数模型和超实数模型。原来无穷小躲在超实数模型里面，在传统实数模型里面并不存在。这是一个基本的认识。
非常巧妙的是，微积分学的理论体系（或框架）在两个模型中都成立。也就是说，理论只有一套，但是，数学模型却有两个。从人的直觉，从人的思维习惯上来看，似乎无穷小微积分更加适合人们的思维习惯，更有诱惑力，而（ε，δ）微积分比较难于理解与掌握，因为，其中的限量词（quantifier）反转频繁，复杂多变。什么叫“限量词”？什么叫“反转频繁”？解决这些问题需要我们的思维素质不断地提高才行。
面对国内的实际情况，普及无穷小微积分绝非一件容易之事情。空谈误国，实干兴邦。当前，需要一个专门的网站，开展这方面的普及教育活动。在博客上不便细说，不易交流，深入一点的话题就要“打住”。所幸的是，目前有一位富有远见的企业家愿意帮忙建立网站。我要感激他，但是，广大的青年学子更要感激他，国内数学界也要感谢他。做人，要知道感恩。
看着国内的《高等数学》烂教材，我心中就生闷气。六次修订还有那么多的错，对得起谁？这些具体问题，待网站开通之后，让我慢慢说来。是与非，大家自有说法。