一、RSA算法 :
首先: 找出三个数, p, q, r, 其中 p, q 是两个相异的质数,
r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数...... p, q, r 这三个数便是 private key .
接著: 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
再来: 计算 n = pq....... m, n 这两个数便是 public key
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是编码後的资料......
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
使第三者作因数分解时发生困难.........
<定理>
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........
<证明>
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....
二、RSA 的安全性
RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，
因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，
那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。
不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。
因此，模数n 必须选大一些，因具体适用情况而定。
三、RSA的速度
由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。
速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。
四、RSA的选择密文攻击
RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。
然后，经过计算就可得到它所想要的信息。
实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：
( XM )^d = X^d *M^d mod n
前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。
但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：
一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；
一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way HashFunction 对文档作HASH处理，
或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。
五、RSA的公共模数攻击
若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。
最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。
设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：
C1 = P^e1 mod n
C2 = P^e2 mod n
密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。
因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：
r * e1 + s * e2 = 1
假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则
( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n
另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。
总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，
一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。
解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。 RSA的小指数攻击。
有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有 所提高。
但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。
RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。
RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，
经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。
即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。
RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。
B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，
尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，
这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。
目前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥。
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原理2
RSA算法
*由MIT的 Rivest, Shamir & Adleman 在 1977 提出
*最著名的且被广泛应用的公钥加密体制
*明文、密文是0到n-1之间的整数，通常n的大小为1024位或309位十进制数
RSA算法描述
* 加密： C=Me mod N, where 0≤M<N
* 解密： M=Cd mod N
* 公钥为（e，N）， 私钥为（d，N）
* 必须满足以下条件：
： Med = M mod N
： 计算Me和Cd是比较容易的
： 由e和n确定d是不可行的
RSA 密钥产生过程
* 随机选择两个大素数 p, q
* 计算 N=p.q 注意 ?(N)=(p-1)(q-1)
* 选择 e使得1<e<?(N),且gcd(e,?(N))=1
* 解下列方程求出 d e.d=1 mod ?(N) 且 0≤d≤N
* 公布公钥: KU={e,N}
* 保存私钥: KR={d,p,q}
RSA 的使用
* 发送方要加密明文M:
： 获得接收方的公钥 KU={e,N}
： 计算: C=Me mod N, where 0≤M<N
* 接收方解密密文C:
： 使用自己的私钥 KR={d,N}
： 计算: M=Cd mod N
* 注意：M必须比N小
为什么RSA可以加解密
* 因为 Euler 定理的一个推论:
Mk?(n)＋1 = M mod N
* RSA 中:
N=p.q
?(N)=(p-1)(q-1)
选择 e & d 使得ed＝1 mod ?(N)
因此 存在k使得e.d=1+k.?(N)
* 因此
Cd = (Me)d = M1+k.?(N) = M mod N
RSA Example
* Select primes: p=17 & q=11
* Compute n = pq =17×11=187
* Compute ?(n)=(p–1)(q-1)=16×10=160
* Select e : gcd(e,160)=1; choose e=7
* Determine d: de=1 mod 160 and d < 160 Value is d=23 since 23×7=161= 10×160+1
* Publish public key KU={7,187}
* Keep secret private key KR={23,17,11}
RSA Example cont
* sample RSA encryption/decryption is:
* given message M = 88 (nb. 88<187)
* encryption:
C = 887 mod 187 = 11
* decryption:
M = 1123 mod 187 = 88
模幂运算
* 模幂运算是RSA中的主要运算
* [ (a mod n) × (b mod n)] mod n =
(a × b) mod n
* 利用中间结果对n取模，实现高效算法
Exponentiation
RSA 密钥生成
* 必须做
o 确定两个大素数： p, q
o 选择e或者d，并计算d或者e
* 素数测试是重要的算法
* 由e求d要使用到扩展Euclid算法
RSA 的安全性
* 三种攻击 RSA的方法:
o 强力穷举密钥
o 数学攻击 ：实质上是对两个素数乘积的分解
o 时间攻击：依赖解密算法的运行时间
因子分解问题
* 三种数学攻击方法
o 分解 N=p.q, 因此可计算出 ?(N)，从而确定d
o 直接确定?(N)，然后找到d
o 直接确定d
* 大家相信：由N确定?(N)等价于因子分解
【转自】RSA加解密原理
http://club.topsage.com/thread-2225996-1-1.html