Affine几何
Affine几何是研究这样一种几何: 它只涉及两点之间的向量，而不考虑实际的距离、角度，甚至不考虑作为参照的原点。这些几何构成的空间就是Affine空间。
Affine空间
相比较于熟悉的欧几里得空间，Affine有一些特别的性质。比如欧式空间认为空间中有一个原点，对于这个原点有向量a与b。在Affine空间中认为任意一点均可作为原点，对同样两个点有向量a’和b’。在两个空间中把向量分别相加：
欧式空间：a + b
Affine空间：a’ + b’ = p + (a – p) + (b - p)
这就导致在两个空间中同一种运算可以得出不同的结果。比如有一个a和b的线性组合c：
c = 4a + 6b
c’ = 4a’ + 6b’ = p + 4a - 4p + 6b - 6p = 4a + 6b -9p
可以看到c’多了一个p项。如果我们要令它们相等就必须把这个系数变为0，即线性组合系数之和为1。
考虑：
c = 0.4a + 0.6b
c’ = 0.4a’ + 0.6b’ = p + 0.4a – 0.4p + 0.6b – 0.6p = 0.4a + 0.6b
c = c’
Affine空间的好处
如前所述，如果线性组合系数为1，那么两种空间中的运算没有任何区别，Affine空间还更加简便。如果一几何体是“Affine Invariant”的，就是说它不管是被旋转、缩放还是平移，都不会改变它的性质。
再举一个复杂些的例子。有一个10x3的Mesh，Pc在一个转换矩阵U (100x10)作用下变成了100x3的Mesh, Pf。
Pf = U * Pc
考虑Pf中任意一个点<pfx_i, pfy_i, pfz_i> =
u_i,1 * <pcx_1, pcy_1, pcz_1> + u_i,2* <pcx_2, pcy_2, pcz_2> + … + u_i,10 * <pcx_10, pcy_10, pcz_10>
Pf中的任何一个点都可以看成Pc中点的线性组合，而U中的每一行都是对应一组Pf点的系数。如上可知，如果U中每一行的系数之和都取为1，就可以保证在变换后的几何图形是Affine Invariant的。另外，U中每一列对应一格Pc点，所以每列叫做一个Pc点的Shape Function。