当材料发生形变时，内部会产生复原力，
Stress
在胡克定律中使用了Stress概念，现在对Stress的定义
相应的力可以通过对Stress在面积S上积分得到。
在三维空间中，物体的内部任意切一个小方块，
Strain Tensor
有许多Strain Tensor理论，最接近连续情况的是infinitesima
数学模型
设A为原始状态的材料，B为变化后的材料。A中有一个位置记为X
x = phi (t, X)
phi是X的函数
delta_x = phi(t, X + delta_X) – phi(t, X)
= p( phi(t, X) ) / p(X) * delta_X
把p( phi(t, X) ) / p(X) 记为 F( n * m 矩阵)，F是phi的函数
F = p( phi(t, X) ) / p(X)
delta_x = F * delta_X
delta_x就是要求的B中的形变。
(delta_x)^T * delta_x = (F * delta_X)^T * F * delta_X
= (delta_X)^T * ( F^T * F ) * delta_X
关键在( F^T * F )这个m*m矩阵上。如果它等于单位矩阵，那就等于没有变形。
定义Strain C:
C是F的函数。
C = ( F^T * F ) – I。
对于C = ( F^T * F ) – I分析可知它是一个对称矩阵，其对角项等于Stretch
定义Stress S:
S 为C的函数。dA 为面积改变量，_n为面积法向量。
S = f(C) * dA * _n = E(C)
Transform Matrix
p(E(C)) / p(C) = p(f(C)) / p(C) * S
p(f(C)) / p(C) = WX + b
p(x) / p(X) = W。矩阵W也叫Transform Matrix。其实它也就是F。
例
三维坐标x (in R3)下的一块材质, 设其二维对应的平面为X=(u, v)。
有一个二维到三维的映射phi使得
x = phi(X)
由上面分析，我们关心F, 也就是phi在X上的导数。
定义：
PhiU是在u方向的偏导数；
PhiV是在v方向的偏导数。
考虑其中任一个三角形(i, j, k),
delta_x1 = xj – xi
delta_x2 = xk – xi
delta_u1 = uj – ui
delta_u2 = uk – ui
delta_v1 = vj – vi
delta_v2 = vk – vi
delta_x1, delta_x2是3X1矩阵。
delta_u1，delta_u2，delta_v1，del
delta_x1 = PhiU * delta_u1 + PhiV * delta_v1
delta_x2 = PhiU * delta_u2 + PhiV * delta_v2
即
| delta_x1 | ^T = | PhiU | ^ T * | delta_u1 delta_u2 |
| delta_x2 | | PhiV | | delta_v1 delta_v2 |
及
| delta_x1 | ^ T * | delta_u1 delta_u2 | ^ (-1)* = | PhiU | ^ T
| delta_x2 | | delta_v1 delta_v2 | | PhiV |
PhiU, PhiV是3X1矩阵。
F = | PhiU | ^ T
| PhiV |
F是3X2矩阵. 到这里，F就完全用delta的量推导了。
在一些研究中，
C = ( F^T * F ) – I
中C是个2乘2矩阵，对角线上为两个Stretch 方程：
a * ( PhiU^T * PhiU - 1 ) = a ( || PhiU || - 1 ) = 0 （1）
a * ( PhiV^T * PhiV - 1 ) = a ( || PhiV || - 1 ) = 0 （2）
非对角线上为Shearing方程：
a * PhiU^T * PhiV = 0 （3）
a是一个预设的系数。保证方程(1)(2)(3)成立就可以模拟材料的形变了。
使用Stress/Strain可以十分逼近地模拟材料形变。