For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence
relation holds:
where
and
are the base p expansions of m and n respectively.
首先我们注意到 n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p * p + a0
= [n/p]*p+a0
且m=[m/p]+b0
只要我们更够证明 C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0) (mod p)
剩下的工作由归纳法即可完成
我们知道对任意质数p: (1+x)^p == 1+(x^p) (mod p)
注意!这里一定要是质数 ................(为什么)
对 模p 而言
上式左右两边的x^m的系数对模p而言一定同余(为什么),其中左边的x^m的系数是 C(n,m) 而由于a0和b0都小于p
右边的x^m ( = x^(([m/p]*p)+b0)) 一定是由 x^([m/p]*p) 和 x^b0 相乘而得 (即发生于 i=[m/p] , j=b0 时) 因此我们就有了
C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0) (mod p)