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完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和:
             6=1+2+3,下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14
    接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:

       若2ⁿ-1是素数,则数

                2^n-1[2ⁿ-1]                                                                         (1)

       是完全数.

    两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数之间建立了紧密的联系,到1999年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.
    完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.

             6=1+2+3=3*4/2
            28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2
           496=1+2+3+4+...+31=31*32/2
             ....
    2^n-1(2ⁿ-1)=1+2+3+...+(2ⁿ-1)=(2ⁿ-1)2ⁿ/2

    把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外),

            2²(2³-1)=28=1³+3³
           2⁴(2⁵-1)=496=1³+3³+5³+7³
          2⁶(2⁷-1)=8128=1³+3³+5³+7³+9³+11³+13³+15³
             ....
        2^n-1(2ⁿ-1)=1³+3³+5³+...+(2^(n+1)/2-1)³

    除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的到数和等于1,比如:

                 1/2+1/3+1/6=1
          1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1
             ....

    完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾,看看它们的二进制表达式吧:

                  110
                  11100
                  111110000
                  1111111000000
             ....

    数论里有一个著名的函数σ(n),表示自然数n的所有因子之和,包括因子n本身在内.于是利用σ(n),完全数可以定义为使得σ(n)=2n的数.我们来推导一下完全数的表达式.

   假设n=p₁^a1p₂^a2...p_n^an 是n的标准素因子分解式.那么n的所有因子之和是如下式子的乘积

          σ(n)=(1+p₁+p₁²+...+p₁^a1)(1+p₂+p₂²+...+p₂^a2)...(1+p_n+p_n²+...+p_n^an)

   而这个乘积就是如下式子:

          σ(n)=(p₁^a1+1-1)/(p₁-1)(p₂^a2+1-1)/(p₂-1)...(p_n^an+1-1)/(p_n-1)
    (2)

   设偶完全数 n=2^aq,这里q表示奇素数乘幂之积.设s是q的一切除数之和,也包括q本身在内,而d只是表示它的真除数之和,所以 s=q+d,有公式(2)知道,2^a的一切除数之和为(2^a+1-1)/(2-1)=(2^a+1-1).因此n的全部除数之和等于s(2^a+1-1),而有完全数的定义,知道这个和数应该等于2n,即有:

         2n=2^a+1q=s(2^a+1-1)=(q+d)(2^a+1-1)

   化简得到:

         (2^a+1-1)=q/d

   这意味着d是q的一个真除数,但是前面又知道d是q的一切真除数之和,因而d只能是q的唯一的真除数,于是d的唯一可能值是1,而若一个数的真除数之和为1,则该数必然是一个素数,所以q=(2^a+1-1)是一个素数,最后得到 n=2^aq=2^a(2^a+1-1).这就是偶完全数的表达式,即公式(1).

     注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数,那么必须满足如下这些条件:

1. N必须是一个形如12n+1,或9(4k+1)的数.
2. N至少要有6个不同的素数因子.
3. N必须具有p^4x+1q₁^2a1q₂^2a2...q_n^2an的形式,这里p=4k+1
4. 3中还要限制为:如果除了第一个以外,所有的a等于1,则a1不能等于2;除了第一,第二个以外所有的a都等于1,则前面两个a1,a2不能等于2.
5. 如果所有的a都等于2,则N不可能是完全数.
6. 若所有的q的指数都递增1,则由此得出的指数不能有9,15,21或33作为公共除数.
7. 若p的指数4x+1等于5,则所有的a都不能等于1或2.
8. 若N不能被3整除,则它至少要有9个不同的素因子;若N不能被21整除,则它至少要有11个不同的素除数;若它不能被15整除,它至少要有14个不同的素数除数;若它不能被105整除,则它至少要有27个这样的除数,这就要求N至少大于10⁴⁴.
9. 若N正好有r个不同的素数除数,则最小的一个应该小于r+1.例如若N(假设它存在的话)有28个不同的素数除数,则最小的一个不应大于29.

   已经有人证明如果存在的话,将大于10^100.
下表是前18个完全数.

完全数Pp ## p Mp的位数 Pp的位数 年代 发现者 6 1 2 1 1 ---- ---- 28 2 3 1 2 ---- ---- 496 3 5 2 3 ---- ---- 8128 4 7 3 4 ---- ---- 33550336
5 13 4 8 1456 anonymous 8589869056 6 17 6 10 1588 Cataldi 137438691328 7 19 6 12 1588 Cataldi 2305843008139952128 8 31 10 19 1772 Euler 9 61 19 37 1883 Pervushin 10 89 27 54 1911 Powers 11 107 33 65 1914 Powers 12 127 39 77 1876 Lucas 13 521 157 314 1952 Robinson
14 607 183 366 1952 Robinson 15 1279 386 770 1952 Robinson 16 2203 664 1327 1952 Robinson 17 2281 687 1373 1952 Robinson 18 3217 969 1937 1957 Riesel