素数的测试:
费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.
利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n很可能是素数.
二次探测定理:如果n是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或 x=p-1.
利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程 中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.
如果n是素数,则(n-1)必是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数(若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形
式),q是非负整数,考察下面的测试:
序列:
a^m%n; a^(2m)%n; a^(4m)%n; …… ;a^(m*2^q)%n
把上述测试序列叫做Miller测试,关于Miller测试,有下面的定理:
定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真. Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k).