2013编程之美 初赛第二题 集会
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描述
在一条河的一侧，分布着 N 个村庄。这些村庄平日里需要一些贸易往来，然而商人们来回走遍每一座村庄是非常辛苦的，于是他们决定每个月都在河边举行一次集会，大家都来集会上购买需要的物品。然而在集会地点的选择上，大家却有分歧，因为谁都不愿意集会的地点离自己村庄非常远。经过一番激烈的讨论之后，大家决定要将集会地点挑选在这样一个位置：它离最远的村庄的距离要尽可能的近。
我们把河看做一条足够长的直线，河岸就是平面坐标系上 y = 0 的这条线，y < 0 的区域是河水，而所有村庄都在 y ≥ 0 的区域里。现在给出所有村庄的平面坐标，你要在河岸上找到这样一个位置，使得它到所有村庄的最远距离最小。
输入
输入文件包含多组测试数据。
第一行，给出一个整数 T，为数据组数。接下来依次给出每组测试数据。
每组数据的第一行是一个整数 N，表示村庄的数量。接下来 N 行，每行有两个实数 xi 和 yi，表示每一个村庄的坐标。
输出
对于每组测试数据，输出一行”Case #X: Y”，其中 X 表示测试数据编号，Y 表示集会地点的 x 坐标值，要求与正确答案的绝对误差在10-6以内。所有数据按读入顺序从 1 开始编号。
数据范围
小数据：T ≤ 100, 0 < N ≤ 50, 0 ≤ |xi|, yi ≤ 10000
大数据：T ≤ 10, 0 < N ≤ 50000, 0 ≤ |xi|, yi ≤ 10000
样例输入
1
5
0 8
1 6
4 4
-5 7
-6 1
样例输出
Case #1: -1.000000
看这个题目第一眼觉得这精度要求也太高了吧，，
现在在反过来分析下这个题目。
考虑用三分查找，来处理。
对于具有单调性质的问题可以用二分查找。例如，在一个已排序的数组中，查找一个数，可以用二分查找。
但当函数是凸性函数时，二分法就无法适用，这时就可以用三分查找了。。。。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#define N 50005
using namespace std;
#define sqr(x) ((x)*(x))
double xx[N] , yy[N];
int n;
double cal(double x)
{
double ans = 0;
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
ans = max(ans , sqrt(sqr(xx[i] - x) + sqr(yy[i])));
return ans;
}
int main1()
{
int ca = 0;
int _;cin>>_;
while (_--)
{
scanf("%d",&n);
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
scanf("%lf%lf" ,&xx[i] , &yy[i]);
double l = -10000 , r = 10000 , m1 , m2;
// 5e-7是5*10的-7次方。
while (r - l >= 5e-7)
{
// m1处于1/3处
// m2处于2/3处
m1 = (l * 2 + r) / 3.0;
m2 = (r * 2 + l) / 3.0;
double v1 = cal(m1) , v2 = cal(m2);
if (v1 < v2)
r = m2;
else l = m1;
}
printf("Case #%d: %lf\n" , ++ ca , l);
}
return 0;
}
在区间x=[-100,100]内，随机构造了500个点（代表村庄），[-100, 100]区间内，每隔1个单位，利用cal(double x)函数求一次值y值，得到如下图像：
这是一个凹图像。
至于为什么得到这样的图像，还没有数学的证明，带之后在谈论吧，，，，