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调和级数

2019年05月02日 ⁄ 综合 ⁄ 共 3638字 ⁄ 字号小中大 ⁄ 评论关闭

调和级数

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无穷级数

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}$

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显示▼级数

查·论·编·历

调和级数是一个发散的无穷级数，表达式为：

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\,\!$ .

这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic
series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样地也是源自音乐。

[编辑]历史

早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但这项成就并未为世人所知。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里（英语：Pietro
Mengoli）、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。

调和序列历来很受建筑师重视；这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。^[1]

[编辑]入门

只要有足够多的骨牌，最顶层骨牌离最底层的距离就可以无穷远。可以发现，图中骨牌排列的形状就像顺时针旋转90°的对数函数，也即函数y=1/x的不定积分。

对刚接触这个级数的人而言，调和级数是违反直觉的——尽管随着n不断增大，1/n无限接近0，但它却是一个发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一个例子。^[2]假设一条蠕虫沿着一条1米长的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟之后均匀伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋，蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米，那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗？与直觉相反，答案是肯定的：n分钟之后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为：

$\frac{1}{100}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}.$

由于调和级数发散（证明见本条目“发散性”一节），即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大，所以这个比值也必定在某个时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这个时刻的n的值极其之大，约为e¹⁰⁰，超过10⁴⁰（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散的，但它发散的速度非常慢。

另一个例子：假设你有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，你可以把它们叠在一起，并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要你的骨牌足够多，你就可以使最上层的骨牌可以离最底层骨牌无穷远。^[2]^[3]一个较简单的证明如下：

设每一块骨牌的长度为 $l_0$ 。再设一叠n个平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为 $d_n$ ；在只有1个骨牌时，质心就在骨牌的几何中心（假设骨牌密度均匀），即 $d_1\,=\,\frac{l_0}{2}$ 。对于一叠刚好平衡的骨牌（即对于任意一层骨牌，在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘），新骨牌不置于其上方（否则使得质心往右偏移而倒塌），而是垫在整叠骨牌之下，并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端（则原来的骨牌不会倒塌）；设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为 $l_n$ ，则有： $d_n+l_n=l_0$ 。根据质心的坐标系计算公式，可得到新的骨牌叠的质心为：

$d_{n+1}\,=\,\frac{(d_n+l_n)n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot (n+1)-\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,l_0-\frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}$

则 $l_{n+1} = l_0 - d_{n+1} = \frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}$ ，即 $l_n = \frac{l_0}{2} \cdot \frac{1}{n}$ 。

也就是说，理想的摆法是：最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的1/2，第二、三层间水平距离是骨牌长度的1/4，第三、四层之间水平距离是骨牌长度的1/6……依此类推。最终，最顶层和最底层骨牌的水平距离是：

$l_{total} = \frac{l_0}{2} \cdot \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$

因为调和级数发散，所以当骨牌数目n趋于无穷大时，水平距离也趋于无穷大。

[编辑]发散性

[编辑]比较审敛法

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right.$

$\quad\ \ge \sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil}\,\!$

$= 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right.\,\!$

$= 1 +\ \frac{1}{2}\ + \qquad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots \,\!\;=\;\; \infty.$

因此该级数发散。

[编辑]积分判别法

通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中正方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1 / n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1 / n），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和：

$\begin{array}{c}\text{area of}\\\text{rectangles}\end{array}= 1 \,+\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \cdots.$

而曲线y = 1 / x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出：

$\begin{array}{c}\text{area under}\\\text{curve}\end{array}= \int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx \;=\; \infty.$

由于这一部分面积包含于（换句话说，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确的说，这证明了：

$\sum_{n=1}^k \, \frac{1}{n} \;>\; \int_1^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln(k+1).$

这个方法的拓展即积分判别法。

[编辑]反证法

假设调和级数收敛 , 则：

$\lim _{n \to \infty} S_{2n}-S_n=0$

但与 $S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$ 矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

[编辑]发散率

调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前10⁴³项的和还不足100。^[4]这是因为调和数列的部分和呈对数增长。特别地，

$\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + \varepsilon_k$

其中 $\gamma$ 是欧拉-马歇罗尼常数，而 $\epsilon_k$ 约等于 $\frac{1}{2k}$ ，并且随着 $k$ 趋于正无穷而趋于0。这个结果由欧拉给出。

[编辑]部分和

调和级数的第n个部分和为：

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},\!$

也叫作第n个调和数。

第n个调和数与n的自然对数的差值（即 $\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln n$ ）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。

两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。

除了n=1时以外，没有任何一个调和数是整数。^[5]

[编辑]相关级数

[编辑]交错调和级数

此图显示，交错调和级数的前14个部分和（图中黑色线段）收敛于2的自然对数（红色直线）。

如下级数：

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots$

被称作交错调和级数。这个级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地，这个级数的和等于2的自然对数：

$1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.$

这个公式是墨卡托级数（自然对数的泰勒级数形式）的一个特例。

从反正切函数的泰勒展开式可以导出一个相关级数：

$\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}.$

这个级数也被称作π的莱布尼茨公式。

[编辑]广义调和级数

广义调和级数是指有如下形式的级数：

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b}.\!$

其中 $a \ne 0$ 且 $b$ 为实数。

由比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。 ^[6]

[编辑]P-级数

调和级数广义化的其中一个结果是p-级数，定义如下：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p},\!$

其中P是任意正实数。当p=1，p级数即调和级数。由积分判别法或柯西并项判别法(en:Cauchy
condensation test（英文）)可知p-级数在p>1时收敛（此时级数又叫过调和级数(over-harmonic series)），而在p ≤ 1时发散。当p>1时，p-级数的和即ζ(p)，也就是黎曼ζ函数在p的值。

[编辑]φ-级数

对一个凸实值函数φ，若满足以下条件：

$\limsup_{u\to 0^{+}}\frac{\varphi(\frac{u}{2})}{\varphi(u)}< \frac{1}{2}$

则级数∑_n≥1 φ(n⁻¹)收敛。

[编辑]随机调和级数

随机调和级数定义如下：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},\!$

其中s_n是独立的、恒等分布的随机变量，取值范围为+1和-1，取这两个值的概率都是1/2。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质，^[7]^[8]并发现这个级数收敛的概率为1，并发现这个随机变量有着一些有趣的性质。特别地，这个随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为0.124999999999999999999999999999999999999999764…，与1/8只差了不到10⁻⁴²。施姆兰的论文解释了为什么这个概率如此接近、但却不是1/8。这个概率的精确值是由无穷余弦乘积积分 $C_2$ 除以π而给出的。^[9]

[编辑]贫化调和级数

主条目：肯普纳级数

贫化调和级数是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这个级数是收敛的，和小于80。^[10]实际上，将包含任意数字串的项从调和级数中去除后，所剩级数都收敛。

[编辑]参见

[编辑]参考

^ George
L. Hersey, Architecture and Geometry in the Age of the Baroque, p 11-12 and p37-51.
^ ^2.0 ^2.1 Graham,
Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik,
Oren, Concrete Mathematics. 2nd, Addison-Wesley.
1989: 258–264, ISBN 978-0-201-55802-9
^ Sharp,
R.T., Problem 52: Overhanging dominoes, Pi Mu Epsilon Journal. 1954: 411–412
^ Sequence A082912 in
the On-Line Encyclopedia of Integer
Sequences
^ http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
^ Art
of Problem Solving: "General
Harmonic Series"
^ "Random
Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003
^ Schmuland's
preprint of Random Harmonic Series
^ Weisstein,
Eric W. “Infinite Cosine Product Integral.” From MathWorld – a Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/InfiniteCosineProductIntegral.html accessed
11/14/2010
^ Nick's
Mathematical Puzzles: Solution 72

[编辑]外部链接

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作者: communal

该日志由 communal 于5年前发表在综合分类下，最后更新于 2019年05月02日.
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